Родился в 1827 году в семье шадринского иконописца. С детских лет увлекался рисованием. Отец дал ему первые уроки живописи. После смерти отца шестнадцатилетним отправляется с попутным обозом в Петербург, мечтая поступить в Академию художеств. Но двери этого заведения оказались закрытыми для Бронникова. Тогда он становится учеником в гравёрной мастерской. На способного юношу обратил внимание известный скульптор Пётр Клодт. Он и выхлопотал ему бесплатный билет вольнослушателя классов рисования академии. Фёдор Бронников успешно проходит все классы и получает серебряную медаль.
Но только после того, как, по ходатайству покровилей художника, в Шадринске в 1850 году дали согласие отчислить его из своего мещанского общества, он становится учеником Академии, где занимается у профессора исторической живописи А. Т. Маркова. В 1853 году Ф. А. Бронников оканчивает Академию. За картину на заданную тему «Божия матерь — всех скорбящих радость» получает большую Золотую медаль, звание художника и командировку в Италию.
Перед поездкой за границу Фёдор Андреевич побывал в родном городе. В Италии он остаётся и после скончания срока командировки, так как слабое состояние здоровья требует тёплого и мягкого климата. Бронников пишет картины на темы из древнегреческой, древнеримской истории, а также на темы современной ему итальянской народной жизни.
В 1863 году Бронников привозит в Россию большое полотно: «Квестор, читающий смертный приговор сенатору Тразею Пету». За эту работу он получает звание профессора исторической живописи.
Поездка на Родину явилась переломным моментом в творчестве Фёдора Бронникова. Здесь он сближается с передвижниками и под их влиянием пишет ряд жанровых картин: «Бедное семейство, выгоняемое из квартиры», «Старик-нищий» (Третьяковская галерея), «Золотая свадьба» и другие. А в 1873 году Ф. А. Бронников вступает в Товарищество передвижных художественных выставок. Протокол о его приёме подписан Крамским, Мясоедовым, Перовым, Шишкиным, Клодтом, Саврасовым и другими. Вместе с лучшими русскими мастерами Федор Андреевич экспонирует свои работы. В их числе — «Больной у католического монастыря», «Покинутая», «Художники в приёмной богача». Последняя пользуется большим успехом у зрителей и знатоков. Известный критик В. В. Стасов писал: «Одна из самых замечательных картин передвижной выставки — это небольшая картина г. Бронникова „Художники в приемной богача“, … одна из удачнейших маленьких комических сцен, выраженных живописью, работа деталей превосходна…»
В 1878 году Фёдор Бронников создаёт замечательное полотно «Проклятое поле», трагический живописный рассказ о жестокой расправе рабовладельцев-патрициев над рабами. «Эта картина — образец удивительного воздействия композиции, красок и рисунка… всё полно правды, все говорит, всё обличает»,— писал В. В. Стасов.
В 70 и 80-е годы Фёдор Бронников пишет также картины на сюжеты современной Италии.
Ф. А. Бронников умер в 1902 году, похоронен на русском кладбище в Риме. Прожив долгие годы в Италии, он никогда не забывал своего отечества, родного города. Об этом свидетельствует его завещание о передаче Шадринску свыше 300 картин, эскизов, рисунков и 40 тысяч рублей для основания здесь художественной школы. Желание живописца было выполнено только в советское время. Сейчас в городе открыто такое учебное заведение. А завещанные работы стали основой художественного отдела краеведческого музея.
Разносторонний художник Фёдор Андреевич являлся большим мастером портретной живописи. Его работы этого жанра, находящиеся в Шадринском музее, отличаются тонким рисунком, поразительным сходством с натурой, их отличает психологическое содержание портрета и убедительность изобразительного языка. В пейзажах художник правдиво и проникновенно передает состояние окружающего мира. Они отмечены колористической гармонией и чистотой красок. Любовь к природе у художника зародилась с детских лет в Зауралье. Не случайно в письмах к родственникам в Шадринск он часто вспоминает красоту родных мест. «Нет здесь тех безграничных полей, что у вас там, в России, нет дремучих лесов… и это жаль. Я люблю простор и поля наши русские, точно море беспредельное»,— делился своими чувствами с земляками Фёдор Андреевич.
Известные произведения Бронникова — «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу», «Освящение Гермы», «Проклятое поле» и другие находятся в Государственной Третьяковской галерее. Часть его картин — за границей: в Англии, Дании и других странах. Лучшие работы экспонировались на Всемирных выставках вместе с выдающимися произведениями русской школы.