Фёдор Алексеевич Бакунин родился 2 марта 1898 года в деревне Старое Ильмово ныне Черемшанского района Татарстана.
С февраля по октябрь 1917 года в царской армии. Службу проходил в лейб-гвардии Семёновском полку рядовым. В Красной Армии с 1919 года. В Гражданскую войну командовал взводом, батальоном. Участвовал в боях против войск адмирала А. В. Колчака. В 1921 году окончил 2-е Сибирские пехотные курсы, а в 1923 году — Высшую объединённую военную пехотную школу. Прошёл путь от командира роты до командира полка. В марте 1938 года назначен командиром 11-й стрелковой дивизии, в феврале 1939 года — командиром 2-го стрелкового корпуса, в январе 1940 года — командиром 61-го стрелкового корпуса.
В начале Великой Отечественной войны корпус Бакунина в составе 20-й и 13-й армий участвовал в Смоленском сражении. Заняв оборону в районе Могилёва, корпус вскоре был окружён и на протяжении 2 недель сражался в изоляции, отвлекая тем самым значительные силы немецких войск от наступления на Москву. В конце июля Ф. А. Бакунину во главе группы из 140 человек удалось вырваться из окружения, после чего он находился в распоряжении Западного фронта и Главного Управления кадров НКО. В декабре 1941 года назначен старшим преподавателем тактики в Военной академии имени М. В. Фрунзе. Осенью 1943 года Фёдор Алексеевич добился направления на фронт и в ноябре был назначен командиром 10-го стрелкового корпуса, действовавшего в составе 51-й армии 4-го Украинского фронта. С 20 мая 1944 года — командир 63-го стрелкового корпуса той же армии. Под руководством генерал-лейтенанта Бакунина корпус участвовал в Белорусской и Прибалтийской наступательных операциях. За умелую организацию наступления, смелое применение обходного манёвра награждён орденом Кутузова 2-й степени. После войны продолжал командовать 63-м стрелковым корпусом. С 1947 года — в отставке.
Фёдор Алексеевич Бакунин скончался 22 января 1984 года в Краснодаре.