Родился в рабоче-крестъянской семье, 1 мая 1962 года, в Свентской волости.
В 1979 году закончил Шпогскую среднюю школу.
1980—1983 — служба в армии, военно-морской Черноморский флот.
Образование — высшее, юридическое, в 1992 году окончил Рижский филиал Минской высшей школы МВД СССР.
Увлечения — спорт: хоккей, автогонки.
Трёхкратный чемпион Даугавпилса по хоккею в команде Сталкерс
Чемпион Латвии по автоспорту, мастер спорта по автоспорту.
2001—2003 гг. — председатель Даугавпилсской городской думы
2001—2009 г.г — депутат Даугавпилсской городской думы
2009 июль — 2009 гг. сентябрь — председатель Даугавпилсской городской думы
Рихард Эйгим победил на выборах в марте 2001 года с партией «Латгалес гайсма» и взял 7 мест в Думе из 15. В апреле 2003 году был снят с поста мэра за допущенные финансовые нарушения и авторитарный стиль руководства.
Участвовал в выборах местного самоуправления 6 июня 2009 года, кандидат в депутаты по списку ЛСДРП № 1. На муниципальных выборах 6 июня список ЛСДРП вместе с Эйгимом получил 29,84 % голосов горожан и вышел на первое место.
9 июня 2009 года Даугавпилсской городской прокуратурой против Р. Эйгима было начато уголовное дело по статье № 296 Уголовного закона ЛР «Неисполнение приговора и решения суда».
1 июля 2009 года тайным голосованием (8 из 15) Эйгим был избран мэром Даугавпилса.
1 сентября 2009 года на внеочередном заседании Думы был снят с должности, однако пять часов спустя на экстренном заседании вечером был избран снова. Это событие в СМИ больше называют «Самый короткий переворот» 1 cентября — очередная попытка переворота в Даугавпилсской Думе. Вечером 24 сентября Эйгим смещён с должности мэра города. Его 28 сентября сменил Янис Лачплесис.
На выборах в 10-й Сейм Латвии 2 октября 2010 года выступил кандидатом от Союза зелёных и крестьян под четвёртым номером в избирательном списке Латгальским избирательного округа и был избран, заняв третью позицию в списке.