Родился в Киеве 17 декабря (5 декабря по старому стилю) 1890 года в семье кадрового офицера, дослужившегося позже до полковника. Дворянин.
Окончил Владимирский Киевский кадетский корпус в 1908 году и Константиновское артиллерийское училище в 1911 году, по окончании которого получил звание подпоручика и назначение в 4-ю конно-артиллерийскую батарею. В апреле 1912 года переведен во вторую батарею второго конно-горного артиллерийского дивизиона. Поручик (31.08.1913). Увлекшись авиацией, Крутень засыпал начальство рапортами с просьбой о переводе из артиллерии в новый род войск. В конце концов, в августе 1913 года Евграф Николаевич был направлен для подготовки в качестве летнаба (летного наблюдателя) в Третью Киевскую авиационную роту.
К новому месту службы он прибыл в тот самый день (7 сентября 1913 года), когда Петр Нестеров проделывал свою "мертвую петлю". Евграф Николаевич получил назначение в 9-й корпусной авиаотряд, однако затем сумел перевестись в 11-й, возглавляемый Нестеровым. В канун Первой мировой войны считалось, что главной функцией авиации является воздушная разведка. Экипажи самолетов, как правило, составлялись из двух человек - собственно пилота и летчика-наблюдателя, в задачу которого входили фотосъемка и картографирование местности. При этом умения самостоятельно управлять машиной от летнабов вовсе не требовалось. Подобный подход Крутеня не устраивал. Решив овладеть пилотажем, Евграф Николаевич добился перевода в Гатчинскую авиашколу в январе 1914 года. Там он быстро выдвинулся на первый план, завоевав уважение не только однокурсников, но и начальства. Успешно продолжив обучение в школе, незадолго до окончания курса Евграф Николаевич дважды повторил над Гатчинским аэродромом "мертвую петлю" Нестерова.
Диплом военного пилота Крутень получил в самом начале Первой мировой войны и почти сразу же отбыл на фронт (сентябрь 1914 года). С сентября 1914 года прикомандирован к 21-му корпусному авиационному отряду. С марта 1915 года - старший офицер 2-го армейского авиаотряда. В первый год войны Евграф Николаевич занимался бомбардировками и воздушной разведкой.
Одновременно его имя начало мелькать в печати. Практически все недостатки в плане боевой подготовки, организации и технического оснащения отечественных ВВС были затронуты в работе Крутеня "Кричащие нужды русской авиации". Как горький, но справедливый упрек звучали его слова, брошенные в адрес многих своих коллег: "Наши летчики, как мотыльки, беспечно порхающие с аппарата к женщине, от женщины на бутылку, потом опять на аппарат, потом на карты. Отжарил боевой полет - и брюшко вверх. Внеполетной работы нет". Упрек был услышан, тем более что сама логика жизни (необходимость противостоять опасному и опытному врагу, огромные потери, кадровые изменения в летном составе и т. д.) заставила наших пилотов относиться к своим обязанностям с большей ответственностью.
25 мая 1915 года он назначен исполняющим должность, а 12 ноября 1915 года утвержден в должности командира 2-го армейского авиаотряда. Штабс-капитан (26.05.1915). В воздушном бою 30 июля 1915 года одержал свою первую воздушную победу. В начале весны 1916 года, прибыв в Москву на завод "Дукс", он некоторое время занимался испытанием и приемкой новых самолетов. По возвращении на фронт Крутень всерьез поставил перед командованием вопрос о создании специальных - истребительных - авиагрупп. Первое из подобных соединений летом 1916 года возглавил лучший российский ас А. А. Казаков. Сам же Крутень с марта 1916 года - командир 2-го авиационного отряда истребителей.
В ноябре 1916 года Евграф Николаевич, как один из лучших российских истребителей, был направлен "по обмену опытом" во Францию, где воевал в 3-й эскадрилье "Аистов". В боях под Амьеном и Нанси он сбил два немецких самолета, после чего отправился в Англию. Вернувшись на Родину в марте 1917 года, Крутень был произведен в капитаны и вернулся на должность командира 2-й истребительной авиагруппы, действовавшей на Западном фронте. Авиагруппа состояла из 3-го, 7-го и 8-го корпусных авиаотрядов. Самолеты каждого авиаотряда имели на фюзеляже свою эмблему: 3-й - голову индейца, 7-й - голову орла, 8-й - туз червей. На принадлежавшем командиру авиагруппы "Ньюпоре-23" красовался профиль Ильи Муромца. С апреля 1917 года - командир 2-й боевой авиационной группы.
Из всех русских летчиков Первой мировой войны Крутень внес наибольший вклад в разработку теории воздушного боя, написав на основе собственного практического опыта брошюры: "Наставление летчику-истребителю", "Воздушный бой", "Военная авиация во Франции", "Что думалось в Лондоне", "Нашествие иноплеменников". В своих работах он предложил ввести практику парных полетов и обосновал основные требования к самолету-истребителю: вертикальная и горизонтальная скорость, верткость, высокий "потолок".
Любимый прием Крутеня заключался в том, чтобы "поднырнуть" под аэроплан противника и атаковать неприятеля сзади. Именно таким способом 31 мая 1917 года он одержал свою первую - после возвращения в Россию - победу, отправив на землю вражеский авиаразведчик "Ганза-Бранденбург". Во время выполнения боевых заданий отважный авиатор расходовал почти весь запас горючего, и при возвращении ему приходилось планировать на посадочную полосу с заглохшим мотором. Подобное удавалось лишь настоящим мастерам пилотажа, но 6 июня Крутень даже сумел сбить на планирующем полете ещё один "Ганза-Бранденбург".
Командир 2-й авиагруппы был эталоном для своих подчиненных. 9 июня 1917 года он уничтожил над своим аэродромом немецкий "Фоккер" и взял в плен летчика. Вскоре над аэродромом появилась ещё одна вражеская машина: командир эскадрильи, в которой служил германский пилот, решил выяснить судьбу своего подчиненного. Крутень прервал допрос пленного, поднял свой "Ньюпор" в воздух и тут же сбил излишне любознательного гостя. Это была его последняя воздушная победа. 19 июня 1917 года, возвращаясь с очередного боевого задания, при заходе на посадку на малой высоте самолет Крутеня врезался в землю, и пилот погиб. В память о летчике была выбита специальная медаль, а 2-я истребительная авиагруппа с тех пор именовалась "авиагруппой имени Крутеня". Похоронен на Лукьяновском кладбище Киева, рядом с могилой Петра Нестерова.
Как и в отношении других российских лётчиков Первой мировой войны, относительно числа побед Е. Крутеня имеются значительные разногласия. Очень часто указывается, что он одержал 15, 17 или 20 побед в воздушных боях, но эти данные не подтверждаются документально, а относительно места, времени боев и сбитых противников налицо существенные различия. Достоверными можно считать 5 подтвержденных личных побед летчика, но несомненно, что реальное число его побед значительно больше.