Евгений Яковлевич Савицкий родился в городе Новороссийск Черноморской губернии (ныне Краснодарского края) 11 (24) декабря 1910 года. Русский. Член КПСС с 1931 года.
В Советской армии с 1929 года. В 1932 году окончил военную школу пилотов. С 1937 года на командных должностях: командир звена, эскадрильи, полка. В 1941 году командовал 29-й истребительной авиационной дивизией на Дальнем Востоке.
На фронтах Великой Отечественной войны воевал с января 1942 года. В том году занимал должности командующего ВВС 25-й армии, командира 205-й (Кировоградской) истребительной авиационной дивизии, командующего авиагруппой 17-й воздушной армии. В декабре 1942 года назначен командиром 3-го истребительного авиационного корпуса, коим он руководил до конца войны. К марту 1944 года в воздушных боях генерал-лейтенант Савицкий сбил 15 самолётов противника.
Звание Героя Советского Союза ему было присвоено 11 мая 1944 года за умелое руководство корпусом и 107 боевых вылетов, в которых он сбил 15 самолётов противника.
К концу войны на счету Савицкого значилось 22 сбитых лично и 2 в группе самолётов противника. 5 июня 1945 году Савицкий был награждён второй медалью Золотая Звезда.
В 1948 году назначен командующим авиацией ПВО. В 1955 году окончил Академию Генерального штаба.
Звание Маршал авиации присвоено в 1961 году.
С 1966 года назначен заместителем главнокомандующего Войсками ПВО страны. С 1980 года в Группе генеральных инспекторов Министерства Обороны СССР.
Избирался депутатом Верховного Совета СССР 6-го созыва. Был кандидатом в члены ЦК КПСС.
Дочь Савицкого Светлана стала лётчиком-космонавтом, совершила два полёта в космос и также дважды удостоена звания Героя Советского Союза.
Скончался в 1990 году в Москве.