В школьные годы Евгений Алейников занимался прыжками на батуте, потом лёгкой атлетикой (бег на короткие дистанции), в старших классах увлёкся велоспортом, а затем перешёл в стрельбу. Первым его тренером был А. Цаликов.
После школы спортсмен поступил на горно-металлургический факультет политеха и проучился год, но, поняв, что стрельба стала больше, чем просто увлечение, перешёл в институт физкультуры.
В сборной команде СССР/России с 1987 года.
Из-за травм не попал на Олимпийские игры в Афинах, однако, смог поучаствовать в их проведении в качестве комментатора стрелковых соревнований.
С 2007 года работает старшим тренером молодёжной сборной России по пулевой стрельбе.
Женат на Любови Галкиной, олимпийской чемпионке по пулевой стрельбе, имеет сына Тимофея.
В 2001 году награждён медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.