Многократный чемпион СССР (1950, 1952, ?, 1959) в командной гонке на 100 км и других велосипедных дисциплинах. Победитель Велогонок Мира (1956, 1958) в составе победившей в командном зачете команды СССР, победитель 12 этапа (Прага) Велогонки Мира 1956 г., и 8 этапа часть b (Карл-Маркс-Штадт) Велогонки Мира 1958 г. в индивидуальном зачете. Победитель Спартакиады народов СССР в 1959 году. Евгений Клевцов — первый курский Олимпийский медалист, и первый курянин — Заслуженный мастер спорта СССР (1959).
До 1948 г. проживал в г. Обоянь, Курской области, работал слесарем в МТС. Впервые принял участие в соревнованиях по велоспорту в 1948 г., в возрасте 18 лет в г. Курске и занял первое место с большим отрывом. В этом же году стал лучшим сельским гонщиком России на Всероссийских сельских играх в Пятигорске, после чего его пригласили в Москву, в клуб ЦДКА.
В этом обществе и прошла вся его спортивная жизнь. С 1952 г — в сборной СССР. Капитан первой Олимпийской сборной команды велосипедистов СССР, выступавшей на XV Летних олимпийских играх 1952, г. Хельсинки и олимпийской сборной команды велосипедистов на XVII Летних олимпийских играх 1960, г. Рим. После ухода из спорта работал механиком сборной ЦДКА (впоследствии — ЦСКА) и страны. С 2008 года в в г. Обоянь проводится шоссейная велогонка «Мемориал Евгения Клевцова»