Родился 4 января 1856 года в Киеве, сын тайного советника И. А. Аренса.
Образование получил в Морском кадетском корпусе. По производстве в гардемарины 1 мая 1876 года, с открытием военных действий против Турции, был прикомандирован к действующей армии, а 1 декабря того же года зачислен в отряд гвардейского экипажа. Участвуя во всех военных действиях этого отряда, особенно отличился при атаке на паровом катере «Мина» турецкой канонерки 11 июня 1877 года на Дунае, у Фламунды, за что 23 июня был награждён знаком отличия Военного ордена 4-й степени. Затем он отличился при постановке мин 14—15 июня у острова Белино и в ночь с 15 на 16 июня на паровом катере «Генерал-адмирал», при переправе войск под огнём неприятеля у Зимницы, за что 8 октября произведён в мичманы, 20 октября награждён орденом св. Анны 4-й степени. В 1878 году служил на миноносце «Стрела».
В 1879 году по возвращении с войны Аренс был назначен членом комиссии «по описанию действий морских команд на Дунае». С июля 1882 года по 1883 году командовал миноноской «Дельфин», а затем был минным офицером клипера «Стрелок».
В 1890 году получил чин капитан-лейтенанта, 28 марта 1893 года — капитана 2-го ранга. С 1888 года был заведующим загородными судами и Петергофской военной гаванью.
В августе 1896 года, по окончании курса воен-морских наук при Николаевской морской академии, был приглашён читать на этом курсе лекции по истории русского флота. Предмет этот до того времени не читался; Аренс занялся его разработкой и постановкой, постепенно расширяя программу, вместившую всю российскую военно-морскую историю.
В 1901 году Аренс был произведён в полковники по адмиралтейству, в 1905 году получил чин генерал-майора и в 1909 году — генерал-лейтенанта флота.
В августе 1910 года Аренс был назначен ординарным профессором Николаевской морской академии, в 1913 году вошёл в число членов Главного морского суда, 6 декабря 1915 года произведён в генералы флота. 11 ноября 1916 года был награждён орденом Белого орла и вышел в отставку, состоял членом Александровского комитета о раненых флота.
К основным его работам по военно-морской истории относятся:
Среди прочих наград Аренс имел ордена св. Владимира 3-й степени, св. Станислава 1-й степени, св. Анны 1-й степени.
После Октябрьской революции Аренс остался в Петрограде и в 1918 году вступил в РККФ, по окончании Гражданской войны был членом Военно-научной редакции Петроградского отдела военной литературы.
Скончался 5 ноября 1931 года в Ленинграде, похоронен на Новодевичьем кладбище.
Его брат Аполлон Иванович Аренс (1860—1916), генерал-майор, преподаватель Николаевской инженерной академии.
У Евгения Ивановича было трое детей, дочери Вера, Зоя, Анна и сын Лев.
Лев, в дальнейшем стал биологом и литератором и поэтом близким к футуристам.
Вера, стала поэтессой и переводчицей .
Анна была супругой Пунина, жила в Фонтанном доме.