Доктор биологических наук, главный научный сотрудник Ботанического института имени В. Л. Комарова РАН.
В 1925 году окончил географический факультет Петроградского государственного университета. Принимал участие в ботанических экспедициях АН СССР в Среднюю Азию в 1920-х годах. Способствовал реорганизации Ботанического института имени В. Л. Комарова РАН в 1930—1931 годах, зимой 1941—1942 годов фактически им руководил. С весны 1942 года по весну 1944 (?) в эвакуации в районе Казани.
Е. Г. Бобров был одним из подписавших в 1955 году «Письмо трёхсот» против методов и теорий Т. Д. Лысенко, насаждавшихся им в биологической науке в СССР.
Автор лучшей из написанных на русском языке биографий великого шведского натуралиста Карла Линнея.
Автор ряда монографий.
С 1934 года был женат на потомственной почётной гражданке Людмиле Андреевне Куприяновой (1914—1987), впоследствии работавшей в Ботаническом институте, докторе биологических наук. Сыновья Андрей (род. 1936, кандидат биологических наук, работал в Ботаническом институте) и Александр (род. 1940, инженер-химик).
Скончался в Ленинграде 28 февраля 1983 года от желудочного заболевания. Похоронен на Богословском кладбище.
Иностранный член Лондонского Линнеевского общества, иностранный член Болгарского ботанического общества. Один из активнейших членов Русского Ботанического Общества.
В 1998 году А. П. Хохряков назвал в честь Е. Г. Боброва род растений Бобровия (Bobrovia A.P.Khokhr.) семейства Бобовые (Leguminosae).