Начал заниматься теннисом в возрасте 4 лет в Лужниках, а в 6 лет попал на знаменитые корты Москвы на Ширяевом поле в группу Ларисы Преображенской. В возрасте 10 лет вместе с семьей переехал в Германию, где в настоящее время и тренируется по руководством своего отца Евгения и старшего брата Алексея. Первые очки в профессиональном Туре заработал в 15 лет, играя на челленджерах в Германии. Среди своих любимых теннисистов Евгений называет Пита Сампраса, Андре Агасси, Стефана Эдберга.
Стал профессионалом в 2005 году.
На счету Евгения 5 побед на «челленджерах» (трижды Королёв побеждал в Аахене):
В марте 2009 года в американском Делрэй-Биче, пройдя квалификацию, впервые в карьере вышел в финал турнира АТП, но уступил там первому сеяному американцу Марди Фишу 5-7 3-6. Этот финал стал 100-м матчем Королёва на уровне АТП (47 побед — 53 поражения).
Имеет в своём активе победы над Николаем Давыденко, Карлосом Мойя, Джеймсом Блейком, Дмитрием Турсуновым, Станисласом Вавринка, Игорем Андреевым, Фернандо Гонсалесом, Робином Сёдерлингом, Гильермо Каньясом, Маратом Сафиным.
В январе 2010 года Королёв начал выступать под казахским флагом, так как по словам президента Федерации тенниса России Шамиля Тарпищева «казахская федерация предложила 21-летнему теннисисту крайне выгодные финансовые условия, позволяющие проводить качественную подготовку и совершенствоваться». На момент перехода под казахский флаг Королёв занимал 53-ю позицию в мировом рейтинге и являлся 4-й ракеткой России. Ранее за Казахстан начали выступать бывшие россияне Андрей Голубев, Михаил Кукушкин, Юрий Щукин, Ярослава Шведова, Галина Воскобоева.
Королёв — двоюродный брат Анны Курниковой, их матери — родные сёстры.
Знает три языка: английский (начал изучать его в возрасте 7 лет), немецкий, русский.
Королёв решил выступать под казахским флагом не позднее 10 января 2010 года, о чём Шамиль Тарпищев заявил в интервью спортивным изданиям. 15 января 2010 года заместитель министра спорта, туризма и молодёжной политики РФ Г. П. Алёшин утвердил представленный Тарпищевым «Список кандидатов в спортивные сборные команды Российской Федерации по теннису на 2010 год», куда Королёв был включён в основной состав мужской сборной под №6.