Ромеро — воспитанник клуба «Логроньес», в нём же он начинал профессиональную карьеру. Сезон 1993—1994 стал первым для Энрике в качестве игрока основы и сразу после него он перешёл в более сильную «Валенсия», где играл на протяжении 3-х сезонов. Ещё один чемпионат Ромеро провёл в составе «Мальорки».
В 1998 году Энрике перешёл в «Депортиво». В Галисии прошла большая и наиболее успешная часть его карьеры. За 8 сезонов, проведённых в клубе, Ромеро стал чемпионом и обладателем Кубка Испании. К 2006 году Ромеро был вытеснен из состава Жоаном Капдевилой и перешёл в «Реал Бетис», где играл ещё один сезон, после чего закончил карьеру.
Ромеро дебютировал в сборной Испании 23 февраля 2000 года в товарищеском матче с командой Хорватии.
На счету Ромеро 10 матчей в составе сборной. Вместе с ней Энрике выступал на чемпионате мира 2002 года, где сыграл в 3-х матчах.
«Депортиво»