Отец Е. М. Беляковой, Михаил Гаврилович Беляков (1850—1937) занимался живописью, он же дал дочери первые уроки рисования. В 1909 году Е. М. Белякова поступила в Строгановское центральное художественно-промышленное училище в Москве. Училась у С. В. Ноаковского и П. П. Пашкова. Закончив Училище в 1913, продолжила своё обучение в Московском училище живописи, ваяния и зодчества, где её педагогами были Н. А. Касаткин, А. М. Корин, С. Д. Милорадович и С. В. Малютин. Закончила МУЖВЗ в 1917. В 1915 впервые показывала свои работы на выставке. В 1918—1919 годах собирала коллекцию Музея игрушки в Сергиевом Посаде. Позже совместно с Е. Е. Штейнбах написала работу «Игрушки Сергиева Посада» (опубликована в альманахе «Панорама искусств», М., 1980, № 3.) С 1921 по 1924 годы занималась живописью у П. В. Кузнецова. С 1924 участница объединения «Маковец». Работы Е. М. Беляковой находятся в собраниях ГРМ и ГТГ.