Э. Л. Аким родился 14 марта 1929 года в городе Галич Костромского округа. В 1933 году семья переехала в Москву. Его отец, Лазарь Эфраимович Аким, главный инженер завода, в начале войны был мобилизован в Красную Армию. Он служил в ПВО Москвы и погиб в 1941 году во время воздушного налёта; семья в это время находилась в эвакуации в Рыбинске. Мать, Фаина Яковлевна, работала библиотекарем. Старший брат, Яков Лазаревич Аким — известный детский поэт.
В 1948 году Аким поступил в МГУ, на механико-математический факультет. В 1953 году пришёл на работу в Институт прикладной математики АН СССР, в отдел № 5, которым руководил Д. Е. Охоцимский. Аким включается в работы по баллистико-навигационному обеспечению космических полётов. В 1965 году для координации этих работ на базе отдела был организован Баллистический Центр института, руководителем которого был назначен Аким. В этой должности он работал по 2010 год, а кроме того, с 1994 года являлся заместителем директора института по научной работе. Аким — автор более 240 научных работ и трёх монографий.
Баллистический центр Института прикладной математики (ИПМ) был создан по инициативе М. В. Келдыша и С. П. Королёва для баллистико-навигационного обеспечения космической программы, в особенности пилотируемых полётов и полётов автоматических аппаратов к Луне и планетам. Баллистический центр занимался расчётами орбит, оптимальным планированием космических полетов, расчетами фактических траекторий по данным наблюдений и выдачей уставок на коррекции. Все важные расчеты дублировались в аналогичных центрах других организаций, таких как НИИ-4 Министерства обороны (начальник баллистического центра генерал Г. П. Мельников) и ЦУП (И. К. Бажинов). Баллистический центр ИПМ был научным центром по разработке расчётных методик космической баллистики для решения постоянно возникавших новых задач и проектов. В качестве руководителя центра, Аким организовывал баллистико-навигационное обеспечение полетов пилотируемых кораблей «Союз», долговременных орбитальных станций «Салют» и «Мир», многоразовой космической системы «Энергия-Буран», грузовых кораблей «Прогресс», автоматических космических аппаратов научного назначения: «Луна», «Венера», «Марс», «Вега», «Фобос», «Астрон», «Гранат», «Интербол». Решались задачи межпланетных полётов, вывода на орбиту искусственных спутников Земли, Луны и Венеры, а также мягкой посадки, сближения и стыковки космических кораблей. Была разработана схема запуска межпланетных аппаратов с промежуточной орбиты искусственного спутника Земли ныне ставшая общепринятой. В последние годы Аким руководил работами по созданию систем управления и навигации космических аппаратов в реальном времени с использованием глобальных спутниковых навигационных систем GPS и ГЛОНАСС, а также принимал активное участие в проекте «Фобос-грунт».
В 1966 году Аким определил основные параметры гравитационного поля Луны по результатам наземных траекторных измерений автоматической станции «Луна-10», выведенной на орбиту искусственного спутника Луны. Эта работа Акима, в которой был впервые вычислен параметр нецентральности поля тяготения Луны (параметр, определяющий «грушевидность» фигуры Луны), положила начало изучению распределения массы Луны.
В 1983 году межпланетные станции «Венера-15» и «Венера-16» были выведены на орбиты искусственных спутников Венеры и передали на Землю радиолокационное изображение поверхности планеты, позволившее составить первый атлас её рельефа, примерно 30 % всей поверхности. Аким был одним из инициаторов и руководителей этого проекта и принимал активное участие на всех его этапах. Картографирование Венеры было позже продолжено аналогичными методами при помощи американского аппарата проекта «Магеллан».
Его именем названа малая планета Солнечной системы - астероид (8321) Akim. Похоронен на Троекуровском кладбище.