Играл нападающим за московское «Торпедо» и сборную СССР.
Воспитанник команды московского завода «Фрезер».
В 16 лет Эдуард Стрельцов стал игроком московского «Торпедо», где и играл всю свою футбольную карьеру на позиции нападающего. В чемпионатах СССР провёл 222 матча и забил 99 голов.
Футбольный талант Стрельцова очень рано раскрылся. В 17 лет дебютировал в сборной СССР, сделав в первых двух матчах по хет-трику, в 18 лет стал лучшим бомбардиром чемпионата СССР, а в 19 — Олимпийским чемпионом.
В 21 год Стрельцов незадолго до чемпионата мира 1958 года был осуждён по обвинению в изнасиловании, имеющему много неточностей, недостаточное количество доказательств для обвинения, но поддерживаемое указаниями сверху и получил 12 лет лагерей. 4 февраля 1963 года было принято решение о досрочном освобождении.
После освобождения Эдуард Стрельцов работал на ЗИЛе и учился во ВТУЗе. В 1965 году ему разрешили вернуться в большой футбол. В том же году Стрельцов помог «Торпедо» выиграть чемпионат СССР.
В 1966 году Эдуард Стрельцов выиграл с «Торпедо» Кубок СССР и вернулся в состав сборной.
По окончании карьеры работал тренером детских команд московского «Торпедо».
Именем Эдуарда Стрельцова назван стадион «Торпедо» в Москве.
У главного входа на стадион «Торпедо» знаменитому советскому нападающему открыт памятник, выполненный скульптором Александром Тарасенко.
Ежегодно, начиная с 1997 года, лучшим футболистам страны вручается российская футбольная премия «Стрелец», получившая своё имя в честь Эдуарда Стрельцова.
Книги: автобиографическая (в литературной обработке Александра Нилина) — «Вижу поле», биографическая (серия ЖЗЛ, автор Александр Нилин) — «Стрельцов. Человек без локтей».
28 декабря 2009 года Центральный Банк России объявил о выпуске в обращение памятной серебряной монеты номиналом в 2 рубля из серии «Выдающиеся спортсмены России» посвящённой Эдуарду Стрельцову. Монеты выпущены тиражом 3000 штук и изготовлены из серебра 925 пробы, вес чистого металла 15,5 граммов (половина унции). Несмотря на дату выхода, на монетах проставлена дата 2010 год. Кроме Стрельцова были также выпущены монеты, посвящённые Льву Яшину и Константину Бескову с теми же характеристиками.