Алесси родился в Сан-Катальдо в провинции Кальтаниссетта. Он стал одним из основателей Христианско-демократической партии на острове, и был избран первым президентом регионального правительства Сицилии, которое возглавлял дважды. Алесси был одним из членов реформаторского крыла этой же партии. С 1968 по 1972 год Алесси был членом Палаты депутатов Италии.
За годы своей политической карьеры он был активным защитником интересом демократов на острове, выступая против коммунистов и внедрения мафии в государственные ветви власти.
Джузеппе Алесси скончался в возрасте 103 лет в Палермо летом 2009 года.