Уэлком начал карьеру в команде второй гондурасской лиги «Арсенал». Проведя в клубе 4 сезона и сыграв 22 матча, Джорджи показал высокую результативность — 18 мячей.
Ещё играя в «Арсенале», Уэлком дебютировал в сборной Гондураса, чем привлёк к себе внимание более сильных гондурасских клубов. В 2008 году нападающий перешёл в «Мотагуа». В 2010 году нападающим заинтересовался шотландский «Рейнджерс», однако контракт подписан не был.
Уэлком играл в олимпийской сборной Гондураса на преодолимпийском турнире КОНКАКАФ и забил единственный гол в финальном матче со сборной США.
Во взрослой сборной дебютировал 22 мая 2008 года в товарищеском матче с Белизом. В 2010 году был включён в заявку на чемпионат мира, заменив травмированного Карлоса Костли и трижды появился на поле, выходя на замену.