Родился в Торп Хесли, Ротерем. Начал карьеру в местном клубе «Торп Хесли». В мае 1902 года перешёл в «Шеффилд Уэнсдей». После этого играл за «Торнхилл Юнайтед», а в августе 1905 года перешёл в «Барнсли». В апреле 1907 года подписал контракт с «Манчестер Юнайтед». За переход Стейси руководство «Юнайтед» заплатило ?200.
Стейси дебютировал за «Манчестер Юнайтед» 12 октября 1907 года в матче против «Ньюкасл Юнайтед», в котором «красные» одержали победу на выезде со счётом 6:1. В этом сезоне Стейси сыграл ещё 18 матчей и забил 1 гол, а «Юнайтед» выиграл чемпионский титул Первого дивизиона с девятиочковым отрывом от «Астон Виллы, финишировавшей на втором месте. В следующем сезоне Стейси провёл 38 матчей и помог своей команде выйти в Финал Кубка Англии, а затем и выиграть этот трофей. В сезоне 1910/11 «Юнайтед» с Джорджем Стейси в качестве игрока основного состава вновь стал чемпионом Англии.
В 1912 году Стейси получил вызов в сборную Англии, однако так и не сыграл за неё ни одного матча.
Он выступал за «Манчестер Юнайтед» вплоть до перерыва, связанного с началом Первой мировой войны. В военное время Стейси сыграл в качестве гостя за клуб «Ротерем Каунти». По окончании сезона 1918/19 в военной лиге Стейси завершил карьеру футболиста.
Манчестер Юнайтед