Первым профессиональным клубом Леони был «Сьон». Проведя в этой команде 2 сезона и сыграв 30 матчей Джонни перешёл в «Цюрих». За несколько сезонов вытеснив из основы Давиде Таини, Леони стал основным голкипером «Цюриха». С этой командой Леони трижды становился чемпионом Швейцарии и один раз выиграл кубок страны.
С 2007 года Леони неоднократно вызывался в сборную Швейцарии, но на поле не выходил.
В 2010 году голкипер был включён в заявку сборной на чемпионат мира в качестве одного из дублёров Диего Бенальо.