Сын Томаса Шора, суперкарго на службе Ост-Индской компании. Закончил школу Харроу (англ.)русск.. С 1769 служил в Британской Индии. С 1787 по 1789 год был членом Верховного Совета.
В 1793 году стал генерал-губернатором Индии и находился на этом посту до 1798 года. Во время своего правления проводил политику невмешательства, но заменил набоба в Ауде. Во время мятежа офицеров индийской армии пошёл на уступки.
Баронет с 1792 года, ирландский барон Тайгнмоут (англ.)русск. с 1798. Член Совета управления (1807—1828). Первый президент «Британского и иностранного библейского общества (англ.)русск.».
Близкий друг востоковеда Уильяма Джонса (1746—1794), в 1804 году редактировал воспоминания о его жизни, опубликовал многие его письма.
Воспоминания о нём опубликовал его сын в 1843 году.