Дражен Мужинич дебютировал в составе «Хайдука» из Сплита 29 марта 1970 года, в матче с клубом «Челик» из Зеницы, завершившимся поражением «Хайдука» 1:3. На тот момент Мужиничу было всего 17 лет. Мужинич выступал за «Хайдук» до 1980 года. За это время он сыграл 508 матчей, из них 280 в чемпионате Югославии, 29 в Кубке Югославии, и 30 в еврокубках, и забил в них 28 голов. За время выступлений в «Хайдуке» Мужинич 4 раза выиграл чемпионат Югославии и 5 раз Кубок Югославии, а в 1977 году удостоился звания Футболист года в Югославии. В 1980 году Мужинич перешёл в английский клуб «Норвич Сити» за 300 000 фунтов стерлингов после приглашения тогдашнего тренера «Норвича» Джона Бонда. Однако английский период карьеры оказался для Мужинича крайне неудачным. Он так и не смог приспособиться к новой стране и новому языку, и сыграл за 2 сезона в составе «канареек» лишь 23 матча в чемпионате. По окончании сезона 1981/82 Кен Браун, сменивший на тренерском посту Джона Бонда, разорвал контракт с Мужиничем, после чего тот завершил свою карьеру.
В сборной Югославии Дражен Мужинич дебютировал 17 апреля 1974 года в товарищеском матче со сборной СССР, завершившимся со счётом 0:1. В составе сборной Мужинич принял участие в чемпионате мира 1974 года и чемпионате Европы 1976 года. Свой последний матч за сборную Мужинич сыграл в отборочном турнире чемпионата Европы 1980 года против сборной Испании 10 октября 1979 года, тот матч завершился победой югославов со счётом 1:0. Всего же за сборную Мужинич сыграл 32 официальных матча в которых забил 1 гола. Также Мужинич сыграл 12 матчей за молодёжную сборную Югославии и 1 матч за юношескую сборную Югославии.
Итого: 32 матча / 1 гол; 10 побед, 6 ничьих, 16 поражений.