Дэниел Уилер Бёрш родился 25 июля 1957 года в Бристоле, округ Бакс штата Пенсильвания. Затем его семья переехала в Вестал (штат Нью-Йорк), где Дэниел в 1975 году окончил среднюю школу.
В 1979 году Дэниел получил степень бакалавра наук по физике в Военно-морской Академии США Аннаполиса. После Академии Дэниел поступил на службу в ВМС США, где с весны 1980 году стал морским лётчиком, пройдя подготовку в Пенсаколе (Флорида).
В январе 1981 года Дэниел получил назначение в 34-ю ударную эскадрилью (англ. Attack Squadron 34) и проходил службу на борту авианосцев «Джон Кеннеди» в Средиземном море и «Америка» в Северной Атлантике и Тихом океане, летая на штурмовике A-6E Intruder.
В 1984 году Дэниел Бурш окончил Школу летчиков-испытателей ВМС в авиабазе Пэтъюксент Ривер (англ. ), штат Мэриленд, где и остался там в качестве летчика-инструктора.
В апреле 1987 года получил назначение командиром в 1-й патрульно-крейсерской группы (англ. Cruiser-Destroyer Group 1) в Индийском океане на авианосцах «Лонг Бич» и «Мидуэй».
В 1991 году Дэниел окончил аспирантуру в Монтерее и получил степень магистра по специальности машиностроение.
В 1987 году Дэниел принимал участие в 12-м наборе в отряд астронавтов, где в числе 117 претендентов прошёл в финал. В апреле, в составе 5-й группы кандидатов, проходил собеседование и медицинское обследование в Космическом центре им. Джонсона (англ. Johnson Space Center) в Хьюстоне, но отобран не был.
В январе 1990 года Бурш был зачислен в отряд астронавтов НАСА в составе 13-го набора в качестве специалиста полёта. Прошёл полный курс ОКП, по окончании получив квалификацию специалиста полёта и назначение в отдел астронавтов НАСА. Работал в Отделении развития операций, был руководителем отделения связи с общественностью астронавтов, являлся оператором связи с экипажем (CAPCOM) в ЦУПе.
В январе 2003 года Дэниел Бурш был переведён на должность астронавта-менеджера и до начала 2005 года работал в Аспирантуре ВМС США (англ. Naval Postgraduate School) в качестве инструктора в группе космических систем (Space Systems Academic Group). В июне 2005 года Дэниел покинул отряд астронавтов и работал в компании The Aerospace Corporation.
Свой первый полёт Дэниел совершил в качестве специалиста полёта на шаттле Дискавери STS-51. Продолжительность полёта, в период с 12 по 22 сентября 1993 года, составила 9 суток 20 часов 11 минут и 56 секунд.
Осенью 1994 года, c 30 сентября по 11 октября, Бурш совершил свой второй космический полёт: в качестве специалиста полёта шаттла Индевор STS-68.
Общая продолжительность полёта составила 11 суток 5 часов 47 минут и 10 секунд.
С 19 по 29 мая 1996 года Дэниел, в качестве специалиста полёта совершил третий космический полёт на шаттла Индевор STS-77.
Общая продолжительность полёта составила 10 суток 0 часов 40 минут и 11 секунд.
17 ноября 1997 года Дэниел Бурш получил назначение в дублирующий экипаж МКС-2 и основной экипаж МКС-4 (вместе с Ю. Онуфриенко и К. Уолзом), после чего с ноября 1997 по октябрь 2001 года проходил экипажную подготовку по программам МКС-2 и МКС-4.
29 января 2001 года Бурш в составе 4-й долговременной экспедиции был назначен в экипаж STS-108.
Четвёртый полёт Бурш совершил в качестве бортинженера МКС-4 с 5 декабря 2001 года по 19 июня 2002 года. На Землю Дэниел вернулся в составе экипажа шаттла Индевор STS-111.
Во время полёта Бурш выполнил два выхода в открытый космос:
Общая продолжительность полёта составила 195 суток 19 часов 39 минут 17 секунд.