Воспитанник тбилисского «Динамо». 14 марта 1995 в 17 лет дебютировал в Высшей лиге Грузии. 17 сентября, выйдя на замену, забил свой первый гол за тбилисское «Динамо». В сезоне 1997/98 забил 18 мячей и получил признание не только болельщиков «Динамо»: спортивная газета «Сарбиели» признала Давида лучшим футболистом IX чемпионата страны. В январе 2008 года участвовал в первом тренировочном предсезонном сборе «Крыльев Советов» в ОАЭ под руководством нового тренера клуба Леонида Слуцкого, однако на втором сборе в Испании игрок не появился. 29 января Слуцкий выразил сожаление о невозможности связаться с Муджири, а 30 января московский «Локомотив» объявил о заключении трёхлетнего контракта с Давидом. Так как клуб «Крылья Советов» не давал согласия на переход футболиста, а трансферный контракт был подписан Александром Барановским (президентом клуба в 2005—2007 годах), легитимность трансфера находилась под вопросом. 1 февраля 2008 года состоялась встреча представителей «Локомотива» и «Крыльев Советов». Учитывая желание футболиста выступать за московский «Локомотив» и то, что трансферная сумма в размере 1,1 млн долларов США будет выплачена «Крыльям Советов» после регистрации контракта в РФПЛ, как предусматривает регламент, стороны договорились, что снимают все претензии друг к другу, и решили воздержаться от комментариев по данному вопросу. 26 января 2010 года, в одностороннем порядке, из-за частых прогулов игрока, «Локомотив» расторг контракт с Муджири. Давид с увольнением не согласился и намеревался подать в суд. 10 марта 2010 года вернулся в Грузию, перейдя в «Динамо». В 2011 году 33-летний хавбек перешел из тбилисского «Динамо» в японский клуб «Санфречче Хиросима», не чуждый российскому болельщику со стажем — в свое время его тренировали такие специалисты, как Валерий Непомнящий и Гаджи Гаджиев. 1 января 2012 года вновь вернулся в Грузию, подписав однолетний контракт с чемпионом страны «Зестафони».
24 марта 2007 года вышел на замену в компенсированное время в отборочном матче ЧЕ—2008 сборной Грузии против Шотландии, который Шотландия выиграла 2:1. 28 марта 2007 в отборочном матче ЧЕ-2008 вышел в стартовом составе и сыграл весь матч против сборной Фарерских островов.
Сын известного грузинского защитника 70-х годов Давида (Дмитрия) Муджири.