Первые шаги в большом футболе делал в клубе «Колхети-1913» из Поти, где выступал 4 сезона. В 2002 году перешёл в тбилисское «Динамо», с которым выиграл чемпионат и Кубок Грузии 2003 года, признавался лучшим футболистом чемпионата Грузии. В 2005 году перешёл во владикавказскую «Аланию», но за шесть месяцев своего пребывания в клубе не смог помочь ему сохранить место в Высшем дивизионе. Зимой 2006 года стал игроком запорожского «Металлурга», был одним из лидеров команды, которая являлась середняком первенства Украины. В феврале 2008 года подписал контракт с казанским «Рубином» на 3 года. В своём дебютном сезоне Квирквелия стал основным защитником клуба и помог ему выиграть чемпионат России. В сезоне 2009 года выходил на поле нерегулярно. В марте 2010 года перешёл на правах аренды в махачкалинский «Анжи».
Женат, воспитывает сына.