Спортивную карьеру Дарко начал выступая за молодёжную команду клуба «Изола» из своего родного города. В 1986 году Миланич перешёл в белградский «Партизан», за который выступал на протяжении семи лет и выиграл два Кубка Югославии. Всего в составе «Партизана» футболист сыграл 95 матчей и забил 2 мяча. В 1993 году перешёл в австрийский «Штурм», за который выступал до конца своей карьеры игрока. В общей сложности, за семь лет выступлений в составе австрийского клуба Дарко выиграл 8 трофеев, сыграл 190 матчей и забил 10 мячей.
В сборной Югославии дебютировал 8 августа 1991 года в матче против сборной Чехословакии (0:0). После распада Югославии Миланич начал выступать за сборную Словении, первый матч за которую сыграл 7 ноября 1992 года против команды Кипра (1:1). Капитан сборной Словении на Евро 2000. Всего Дарко сыграл 5 матчей за сборную Югославии и 42 за сборную Словении.
Свою тренерскую карьеру Миланич начал там же, где и карьеру игрока — у себя на родине, в «Изоле». После этого был главным тренером «Приморья» и помощником в «Штурме». В сезоне 2007/08 тренировал «Горицу». С 2008 года Дарко является главным тренером «Марибора».