Отец советского писателя Михаила Михайловича Чулаки.
Родился 6 (19) ноября 1908 года в Симферополе.
В 1931 году окончил Ленинградскую консерваторию по классу композиции у В. В. Щербачёва. В 1937—1939 годах был директором и художественным руководителем Ленинградской филармонии. Занимал ряд ответственных должностей в Министерстве культуры СССР, Союзе композиторов СССР (РСФСР). В 1955—1970 годы (с перерывом) — директор и художественный руководитель Большого театра в Москве. Профессор Московской консерватории (с 1962).
Автор нескольких балетов («Мнимый жених», «Юность», «Сказка о попе и работнике его Балде»), симфоний. На основе музыки Сергея Прокофьева к фильму Сергея Эйзенштейна «Иван Грозный» составил одноимённый балет, поставленный в Большом театре Юрием Григоровичем.
Автор книги «Инструменты симфонического оркестра», несколько раз переиздававшейся.
Член КПСС с 1943 года. Депутат Верховного Совета РСФСР 6 и 7 созывов.
Умер 29 января 1989 года, похоронен на Введенском кладбище Москвы.