Бронислав Иванович родился в 1931 году в Ленинграде. Во время Второй мировой войны пережил блокаду, был тяжело ранен.
В 1950 году он окончил отделение китайской филологии Восточного факультета ЛГУ, а затем поступил в аспирантуру. Когда в середине пятидесятых годов на Восточном факультете возобновилось преподавание тибетского языка, Кузнецов начинает изучать этот язык сначала под руководством В. С. Воробьёва-Десятовского, а затем под руководством Б. И. Панкратова. Именно по совету последнего Кузнецов посетил Бурятию, где в течение летнего сезона жил в Иволгинском дацане — буддийском монастыре.
Будучи аспирантом, Кузнецов начал преподавать тибетский язык на Восточном факультете. До конца жизни он возглавлял единственное в стране отделение тибетской филологии.
В 1962 году Кузнецов защитил кандидатскую диссертацию.
Кузнецов имел активную гражданскую позицию: в 1972 году он выступил в защиту преследуемого буддолога и религиозного деятеля Б. Д. Дандарона.
При жизни Кузнецов опубликовал около тридцати научных статей по филологии, истории, этнографии и религиоведению. Некоторые из них были опубликованы в соавторстве с Л. Н. Гумилёвым.
Большинство его работ вышло в свет после смерти.
Также Кузнецов занимался переводческой деятельностью. В частности, в последние годы своей жизни он работал над переводом «Ламрим Ченмо» — назидательного труда тибетского религиозного деятеля XIV века Цзонхавы.