Родился в семье инженера. Отец, Виктор Якобович, происходил из немцев Поволжья, более двадцати лет занимал на фабрике «Скороход» должность технического руководителя кожевенного производства. Мать Раушенбаха, Леонтина Фридриховна, урождённая Галлик, происходила из эстонских немцев, получила общепринятое по тем временам для девушек образование, владела русским, немецким, французским и эстонским языками, играла на фортепиано.
Борис рано окончил школу, поступив сразу во второй класс. После окончания школы пошёл работать на Ленинградский авиационный завод № 23.
В 1932 году Раушенбах поступил в Ленинградский институт инженеров гражданского воздушного флота (ЛИИ ГВФ), увлекался планеризмом. В Коктебеле, традиционном месте для испытания планеров, Борис Раушенбах впервые встретился с Сергеем Королёвым. Много позже случайное знакомство переросло в сотрудничество на долгие годы в ракетной и космической технике. Строительство планеров и их испытания позволили Раушенбаху написать и опубликовать в популярном тогда московском журнале «Самолёт» первые научные статьи о продольной устойчивости бесхвостых самолётов. О незаурядности этих статей говорит то, что коллектив, издающий учебники для авиационных институтов под руководством известного учёного В. С. Пышнова, в книге об устойчивости самолётов сослался на статьи студента Б. Раушенбаха.
За полтора года до окончания института переехал в Москву, где стал работать в Ховринском институте, или РНИИ (Ракетный институт), в отделе Королёва, который занимался тогда крылатыми ракетами. Борис Викторович успел разобраться с автоматикой ракеты к 1938 году, когда Сергей Павлович Королёв попал под репрессии. Раушенбаха отстранили от негласного поста ведущего конструктора, работы над жидкостными ракетами были свёрнуты, и он занялся теорией горения в воздушно-реактивных двигателях.
За месяц до начала Великой Отечественной, 24 мая 1941 года, Борис Раушенбах женился на Вере Иванченко, которая в ту пору училась на историческом факультете МГУ.
Осенью 1941 года институт № 3 был эвакуирован в Свердловск. С ноября сорок первого до марта сорок второго Раушенбах работал на одном из оборонных заводов. В марте 1942 Раушенбаха вызвали повесткой в военкомат, но направили не в армию, а, как и других немцев, в трудовой лагерь в Нижнем Тагиле. Раушенбаху «повезло»: на него обратил внимание известный авиаконструктор генерал В. Ф. Болховитинов и договорился об использовании заключённого в качестве расчётной «рабочей силы». Новый руководитель РНИИ М. В. Келдыш добился возвращения Раушенбаха. В 1948 формально закончилась ссылка Раушенбаха, он вернулся в Москву и продолжал работать у Келдыша. В 1949 защитил кандидатскую, в 1958 — докторскую диссертации. У Келдыша он разрабатывал теорию вибрационного горения, акустических колебаний в прямоточных двигателях.
В 1955—1959 годах Раушенбах, перейдя на работу к С. П. Королёву, выполнил пионерские работы по ориентации космических аппаратов и их движению в мире, лишённом тяжести. В 1960 году получил Ленинскую премию за уникальную работу по фотографированию обратной стороны Луны (КА «Луна-3»). Менее чем за десять лет под его руководством были воплощены также системы ориентации и коррекции полёта межпланетных автоматических станций «Марс», «Венера», «Зонд», спутников связи «Молния», автоматического и ручного управления космическими кораблями, пилотируемыми человеком.
В начале 1960 года создавался первый — «гагаринский» — отряд космонавтов, и Раушенбах принимал деятельное участие в подготовке первого полёта человека в космос. В 1966 году Борис Викторович был избран членом-корреспондентом, а в 1986 году — действительным членом Академии наук СССР.
Много времени отдавал Борис Викторович Раушенбах преподавательской деятельности. Сразу по возвращении из нижнетагильской ссылки в 1948 году он начал читать лекции на физико-техническом факультете МГУ, впоследствии выделившемся в Московский физико-технический институт (МФТИ). В 1959 стал профессором, более 20 лет заведовал кафедрой механики МФТИ.
Продолжая работать в области ракетной техники, Раушенбах начал изучать теорию перспективы в изобразительном искусстве, богословие. В 1997 году в издательстве «Аграф» вышла в свет книга Бориса Викторовича «Пристрастие», в которой немалое место уделено как вопросам науки, так и вопросам религии. Здесь большой очерк-биография пионера ракетной техники и космонавтики Германа Оберта, воспоминания о скульпторе-антропологе М. М. Герасимове и о Главном конструкторе ракетно-космических систем С. П. Королёве; здесь обширная статья, написанная Раушенбахом к 1000-летию крещения Руси, и ряд статей мировоззренческого характера; здесь, наконец, два материала, посвящённых иконам и иконописи. В 1999 году издательство «Пашков дом» выпустило новую книгу Б. В. Раушенбаха «Постскриптум», диапазон которой, при небольшом объёме, очень широк: от массы событий уходящего XX века — житейских, бытовых впечатлений, биографических событий, включивших в себя и любовь, и «суму», и тюрьму, и работу на космос, — до философских обобщений, размышлений о нашем обществе и мироустройстве, о Петре I и его реформах, о Востоке древнем и современном, о проблемах образования в России и за её пределами, о судьбе русской науки, о нацизме и национализме.
Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Борис Викторович Раушенбах был действительным членом Международной академии астронавтики, Академии космонавтики имени Циолковского, лауреатом Ленинской и Демидовской премий, председателем Научного совета Российской академии наук по комплексной проблеме «История мировой культуры», в конце 1980-х возглавлял движение российских немцев за национальное возрождение, был членом редколлегий многих журналов и книг. Заместитель главного редактора журнала «Космические исследования», член редколлегии серии «Из истории отечественной философской мысли».
Про Бориса Викторовича снято несколько фильмов, последние из них: