Борис Александров со сборной Казахстана на Олимпиаде в Нагано (1998)
В детстве большое влияние на Бориса оказал его отец. Виктор Борисович был инвалидом ВОВ, но это не мешало ему лично заливать лед во дворе дома где они жили, и всячески поощрять занятия сына хоккеем. Именно в дворовой коробке Борис сделал первые шаги в хоккее. В 1969 в Усть-Каменогорске был открыт ледовый дворец спорта. Александров начал заниматься у тренера Юрия Тархова в группе 1954 г.р. В 16 лет Бориса уже начали привлекать к играм основного состава местного «Торпедо». В марте 1973 в Усть-Каменогорск на товарищеские матчи приезжает московский ЦСКА и юному Александрову удается произвести впечатление на играющего тренера армейцев Анатолия Фирсова. Уже летом он получает приглашение в ЦСКА и переезжает в Москву. В звездной армейской команде Борис не затерялся и сумел закрепиться в составе, главным образом выходя в звене с Владимиром Викуловым и Виктором Жлуктовым.
В 1974 и 1975 году проводятся два первых (еще неофициальных) розыгрыша молодежного чемпионата мира. Борис Александров в составе сборной СССР становится победителем обоих этих турниров. 11 ноября 1975 года, в матче с Чехословакией, дебютировал в главной сборной СССР. В феврале 1976 в Инсбруке — стал олимпийским чемпионом.
В 1976 участвовал в Кубке Канады в составе сборной СССР. Также на рубеже 1975 и 1976 годов Александров в составе ЦСКА принял участие в суперсерии с клубами НХЛ. Особенно ярко проявил себя в матче с Нью-Йорк Рейнджерс.
Вспоминает Владислав Третьяк: :
В 1977 году главным тренером ЦСКА и сборной СССР был назначен Виктор Тихонов. Отношения между ним и Борисом Александровым не заладились практически сразу же. Хоккеист особо не скрывал что считает своим учителем Анатолия Тарасова и Тихонов, пришедший в ЦСКА из рижского «Динамо» и в бытность игроком не добившийся звездных высот, не является для него беспрекословным авторитетом. Тренеру же пришлись не по душе упрямый и своенравный характер Бориса и нередкие нарушения режима с его стороны.
Вот как вспоминает об этом конфликте сам В. Тихонов: :
Нередко Тихонов выводил из состава Александрова, отправлял в молодежную команду. Позже в интервью хоккеист так вспоминал о развязке этого конфликта: :
Выручил Александрова Борис Кулагин — тренер, работавший с ним еще в сборной СССР — договорился с руководством ЦСКА об увольнении из армии, пригласил в московский «Спартак». В первом же сезоне тройка в которой вместе с Борисом Александровым играли Виктор Шалимов и Аркадий Рудаков, получила приз «Три бомбардира». Далее постепенно, также как и в ЦСКА, у Бориса начались проблемы с дисциплиной и конфликты с тренерами. К тому же сезон 1981/1982 Александров пропустил почти весь из-за тяжелой травмы — перелома. Форварду прочили уход из большого хоккея.
В это время усть-каменогорское «Торпедо» возглавил только что закончивший игровую карьеру Виктор Семыкин. На его предложение вернуться в родную команду Александров ответил согласием и провел за «Торпедо» шесть успешных сезонов. Команда с ним проделала путь из середняков первой лиги в высшую лигу СССР. А тройка Борис Александров — Андрей Соловьев — Игорь Кузнецов до сих пор по праву считается сильнейшей в истории усть-каменогорского хоккея.
В сезоне 1987/1988 Борис (вместе с Игорем Кузнецовым) завоевал приз «Рыцарю атаки» журнала «Советский воин» (за наибольшее число хет-триков, 3+3).
Заканчивал карьеру в Европе, где играл в Италии и Венгрии.
После ухода из большого хоккея поселился в Москве, открыл свое дело (СТО). В свободное время играл за студенческую команду «Алиса» (Москва), а также за команду ветеранов «Звёзды России». В 1994 опять вернулся в усть-каменогорское «Торпедо», где выступал в качестве играющего тренера.
В чемпионатах СССР и МХЛ участвовал в 400 матчах и забил 177 голов.
Окончил Усть-Каменогорский педагогический институт (1978), преподаватель.
В сезоне 1995/96 был назначен главным тренером «Торпедо» (Усть-Каменогорск) и возглавил сборную Казахстана. Наибольшего успеха главная команда страны, составленная из игроков усть-каменогорского «Торпедо», под его руководством достигла в 1998 году на Олимпиаде в Нагано (5-е место), где добилась права выступать в группе «А».
До июля 2002 года был главным тренером усть-каменогорской команды «Казцинк-Торпедо» и сборной Казахстана. 31 июля погиб в автокатастрофе у города Усть-Катав (на трассе Уфа — Челябинск). На месте трагедии стоит памятник в виде хоккейной шайбы с фотографией Александрова.
Похоронен в Москве на Митинском кладбище.
Первая жена — Эльвира Крючкова, дочь Николая Крючкова. Дочь Екатерина.
Вторая жена — Жанна Вараздатовна. Сыновья — Алан (1980—2004, погиб в автомобильной катастрофе) и Виктор (1985) — хоккеисты.