Родился в Ленинграде, в еврейской семье. Со стороны отца — родственник Идэ-Лейба Цирельсона, видного еврейского общественного деятеля и главного раввина Бессарабии (1918—1941).
Окончил Ленинградский университет. По распределению работал в Архангельске.
Кандидат физико-математических наук (тема диссертации «Общие свойства ограниченных гауссовских процессов и близкие вопросы», ЛГУ, 1975). Участвовал в движении отказников.
Разрешение на выезд из СССР было получено только в 1991 году. Профессор математики в Тель-Авивском университете. Член Санкт-Петербургского математического общества.
Борис Цирельсон внес значительный вклад в такие разделы математики, как теория вероятности и функциональный анализ.