Доктор технических наук (1952), член-корреспондент Академии артиллерийских наук (1949).
Родился в семье железнодорожного рабочего. Закончил Ярославский вечерний рабочий факультет (1925), затем МВТУ им. Н. Э. Баумана (1930) по специальности «инженер-механик по артиллерийскому вооружению». Работал инженером в производственном отделе Орудийно-оружейно-пулемётного объединения, параллельно занимался преподавательской деятельностью, вёл в МВТУ курс сопротивления материалов.
С 1932 года — старший инженер-конструктор, затем начальник КБ на заводах.
В 1937—1938 годах — в Специальном конструкторском бюро № 4 (СКБ-4) при Ленинградском артиллерийском заводе № 7 им. М. В. Фрунзе (завод «Арсенал») под руководством Шавырина и при его непосредственном участии была создана система советского миномётного вооружения (50-мм ротный, 82-мм батальонный, 107-мм горно-вьючный и 120-мм полковой миномёты). После первого применения миномётов Шавырина в августе 1939 года в боях у реки Халхин-Гол выходит постановление правительства «Об увеличении производства миномётов и мин», расширяются работы по ним в других КБ и начинается массовый выпуск. Опыт военных действий на Халхин-Голе и особенно во время советско-финляндской войны 1939—1940 годов убедительно показал, что минометы являются незаменимым оружием пехоты в современном бою, особенно в условиях закрытой труднопроходимой пересечённой местности. Помимо миномётов в 1939—1940 годах СКБ-4 Шавырина разработало и сдало на вооружение ВМФ большой морской бомбомет БМБ-1 для глубинных бомб, которым оснащались корабли противолодочной обороны.
Накануне Великой Отечественной войны Наркомат госбезопасности завёл на Шавырина уголовное дело по обвинению его во «вредительстве, злостном и преднамеренном срыве создания миномётов», распоряжение о его аресте было подписано наркомом госбезопасности и генеральным прокурором. Однако по настоянию наркома вооружений Б. Л. Ванникова он не был осуждён. Тем не менее главный конструктор практически всех отечественных миномётов Шавырин был вынужден из СКБ-4 перейти на работу в СКБ НИИ-13 и вернулся к разработке новых миномётов уже только после начала войны.
С первых же дней Великой Отечественной войны конструкторский коллектив под руководством Шавырина, эвакуированный в Пермь, настойчиво работал над модернизацией и упрощением конструкций миномётов. Придавая особое значение дальнейшему совершенствованию миномётного вооружения, ГКО 11 апреля 1942 года принял постановление, на основании которого в подмосковной Коломне на территории завода № 4 на базе специалистов СКБ НИИ-13 и миномётной группы конструкторов завода № 7 было создано Специальное конструкторское бюро гладкоствольной артиллерии (СКБ ГА, ныне ФГУП «КБ машиностроения»). Шавырин был назначен начальником и главным конструктором и оставался руководителем СКБ до конца жизни. За три военных года в самых неблагоприятных условиях, наряду с технической помощью серийным заводам, конструкторы и инженеры Специального конструкторского бюро выполнили порядка 50 ОКР и НИР, из них половина завершилась изготовлением опытных образцов оружия. Простота и технологичность конструкций советских миномётов позволили развернуть в короткие сроки их массовое производство и полностью обеспечить потребности фронта.
После окончания войны с принятием на вооружение (а значит и в серийное производство) новых образцов наркоматы уже не торопились. Высказывались даже мнения, что, якобы, миномёты исчерпали себя. И всё же в начале 1950-х были сданы на вооружение 160-мм миномёты и 240-мм миномёты, а также 82-мм и 107-мм безоткатные орудия сопровождения пехоты. Позднее разработаны и изготовлены два опытных образца миномёта на гусеничном ходу калибра 420 мм с дальностью стрельбы до 25 км миной со спецзарядом (ведущий конструктор С. П. Ванин). Внушительные орудия прошли на военном параде по Красной площади. На этом этап работы СКБ под руководством Шавырина по гладкоствольной миномётной артиллерии закончился.
Вторая мировая война дала мощный толчок обновлению вооружений ведущих стран, в том числе и нашей. В связи с возросшей ролью бронетехники были востребованы массовые средства её поражения кумулятивными зарядами, причем с высокой точностью. Специалисты доказали, что такую боевую задачу успешно могут выполнять ПТУР — противотанковые управляемые ракеты, к разработке которых немцы приступили ещё в конце войны. Эти проекты были потом продолжены в ряде западных стран. Для СКБ это была твёрдая перспектива, и главный конструктор ухватился за новую тематику. Под руководством Бориса Ивановича Шавырина был разработан комплекс «Шмель» (конструктор С. П. Непобедимый), который в 1960 году показал хорошие результаты на полигоне в присутствии Н. С. Хрущёва. Результатом напряженного труда главного конструктора стали так же: комплекс «Скорпион», комплекс «Малютка», переносной зенитно-ракетный комплекс «Стрела-2», подвижный комплекс с баллистической ракетой «Гном».
Похоронен на Новодевичьем кладбище в г. Москве.