Родился 25 февраля 1925 года на хуторе Верхний Попов Белокалитвенского района Ростовской области в семье крестьянина. Русский.
У его родителей — Ивана Кирилловича и Марии Ивановны — помимо старшего сына Бориса, было еще двое детей, сын и дочь, которая умерла в раннем детстве. Отец был табунщиком в колхозе и маленький Боря с детства помогал ему в работе. С началом войны отец ушел на фронт, погиб в боях под Москвой осенью сорок первого года.
Борис окончил 5 классов.
В Красной Армии Борис с 25 марта 1943 года. Окончив Ворошиловградскую полковую школу, стал минометчиком. Участник войны с июня 1943 года. Боевое крещение получил под городом Лисичанском (ныне Луганская область Украины). Принимал участие в освобождении Украины, Польши.
29 июля 1944 года в числе первых форсировал реку Висла в районе населенного пункта Лонжек (20 километров юго-западнее города Сандомир) и отразил атаку вражеских автоматчиков, уничтожив в упор до ста вражеских солдат и офицеров. Расчет отличился и в боях под Копшивницей, где командир отделения Быков подбил вражеский танк.
Вместе со своим полком 19-летний Герой дошел до Варшавы. После взятия которой его вызвал к себе командир полка и сказал, что вышел приказ направить Быкова на учебу в артиллерийское училище. Но перед этим они заехали в Москву, где в Кремле получили высокую награду из рук всесоюзного старосты — Михаила Ивановича Калинина.
Борис Иванович был направлен в Оренбургское училище осенью 1944 года. Пройдя ускоренный курс обучения, один год вместо трех, Быков вышел из училища лейтенантом. Будучи курсантом, встретил здесь в училище свою судьбу — девушку Наташу. Она служила в воинской части при училище. В 1946 году они зарегистрировали свой брак.
После войны продолжал службу в Вооруженных Силах СССР. В 1947 году Быков был демобилизован. Вернулся на родину. Работал председателем колхоза имени Суворова в хуторе Верхний Попов. В 1953 году стал членом КПСС.
В начале 1950-х годов переехал в город Белая Калитва Ростовской области. Работал на Белокалитвенском металлургическом заводе, где прошел путь от прессовщика до бригадира заточного отдела. После выхода на пенсию работал мастером в ПТУ, обучал будущих трактористов, комбайнеров.
В начале 1990-х годов Б. И. Быков стоял у истоков возрождения казачества в станице Усть-Белокалитвинской. Принимал активное участие в работе юрта, возглавлял совет стариков.
Казачий полковник Б.И. Быков скончался 1 февраля 2008 года после тяжелой болезни. Похоронен в г. Белая Калитва.