Родился 19 сентября 1940 года в семье династического священника.
Неоднократно поступал в Государственное эстрадно-цирковое училище (ГУЦЭИ) и только на шестой раз поступление удалось. Молодого кандидата поддержал известный клоун-мим Леонид Енгибаров, входивший в состав приёмной комиссии.
В 1962 году Борис выпустился из ГУЦЭИ с номером «Ке-ля-ля», который поставил ему Сергей Каштелян. С этим номером он выступил в «Голубом огоньке» и снялся в фильме «Попутного ветра, «Синяя птица»!».
Вскоре Борис Амарантов создаёт собственный театр пантомимы, где рождается спектакль «Чудеса в саквояже», поставленный Григорием Чухраем, Марком Донским и самим Б. Амарантовым. Спектакль имел большой успех.
В дальнейшем Б. Амарантов стал жертвой происков советской бюрократической машины: вследствие интриг со стороны высокопоставленных чиновников Министерства культуры РСФСР его театр неоднократно закрывался, а после восстановления из него был уволен сам Б. Амарантов. Потеряв работу по профессии, был вынужден зарабатывать на жизнь, служа ночным сторожем. В июле 1975 года написал письмо в Президиум Верховного Совета СССР с заявлением об отказе от советского гражданства и требованием предоставить ему право выезда из СССР на Запад. Получил отказ, подвергался угрозам и гонениям.
В августе 1977 года эмигрировал из СССР, в ноябре прибыл в США. Вопреки надеждам, карьера актёра у Б. Амарантова в США не сложилась. Он перебрался во Францию, где посещал занятия в школе пантомимы Марселя Марсо.
Вернувшись в СССР, Борис Амарантов погиб при невыясненных обстоятельствах 3 марта 1987 года. Похоронен на Востряковском кладбище (129 участок).