Борис Александрович Фохт родился 10 (23) марта 1875 года в Москве, в семье профессора медицины Московского университета Александра Богдановича Фохта.
Первоначальное университетское образование получил на естественном отделении физико-математического факультета Московского университета (1899). Летом 1896 года посещал лекции по истории новой философии, метафизике и логике у Куно Фишера в Гейдельберге. В 1897 году изучал физиологию и психологию в Берлине и Лейпциге. Летом 1899 года прослушал курсы по логике и теории познания во Фрайбурге у Г. Риккерта и классической филологии у Калбфлейша. Осенью 1899 года продолжил обучение на философском отделении историко-филологического факультета Московского университета, который окончил в мае 1904 года. Обучение проходил под руководством Л. М. Лопатина, С. Н. Трубецкого и А. С. Белкина, изучая произведения Платона, Аристотеля, Лейбница и Канта. В 1904 году остаётся на кафедре университета «для приготовления к профессорскому званию» и направляется в заграничную командировку в Марбургский университет (1906—1908). Во время пребывания в университете прослушал курс лекций Г. Когена, П. Наторпа.
С 1904 по 1918 год Фохт преподаёт философию на Высших женских курсах, Педагогических курсах им. Д. И. Тихомирова, при Московском обществе народных университетов и в гимназиях. Занимается переводческой деятельностью, переводя на русский язык сочинения Наторпа, Христиансена, Штанге, Шульца, Гельдера, Когена.
С 1919 по 1921 год Фохт преподаёт философию в Первом Московском университете. С 1918 по 1925 год преподаватель философии в Институте слова. В 1921 году представляет и защищает в Московском университете работу «О трансцендентальном методе в теоретической философии Канта и его отношении к методу психологическому». Получает право на профессорское звание. С 1922 по 1925 год работает профессором Ярославского университета по специальности «История мировоззрений и эстетики». С 1925 по 1937 год преподаёт древние и новые языки в Институте красной профессуры. Ведёт семинары по логике Гегеля.
С 1938 по 1941 год, после ликвидации института Красной Профессуры, работает профессором латинского и греческого языков в Юридическом институте прокуратуры СССР; с сентября 1941 года преподаёт латинский язык в Московском юридическом институте и в Московском университете. После организации философского факультета в Московском университете короткое время работает там вместе с А. Ф. Лосевым и П. С. Поповым. После ухода из университета в Московский государственный педагогический институт преподаёт логику в этом институте до конца своей жизни.
В этот период Фохтом подготовлены следующие переводы:
Фохт скончался 3 апреля 1946 года в Москве. Борис Александрович похоронен на Новодевичьем кладбище. "Все науки более необходимы чем философия, но прекраснее - нет ни одной. Аристотель", - написано на постаменте памятника Борису Фохту.
Супруга Раиса Марковна Меерсон (по первому браку Сударская) (20.12.1869-?) вышла замуж за Б. А. Фохта осенью 1901 г. Из-за связи с эсерами вынуждена была эмигрировать осенью 1907 гг. С ней уехал и маленький сын, видимо, от первого брака, Всеволод Фохт (1895—1941).