Сын художника Уильяма Николсона. Образование получил в школе Гришем в Норфолке. В 1911 году один семестр учится в лондонской Школе искусств Слейд. С 1911 по 1918 год много разъезжает, живёт в Туре, Милане, в Лондоне, в Пасадене (Калифорния), на Мадейре, в северном Уэльсе. В 1925 году вступает в художественную группу 7 & 5, в которой состоит до 1936 года. С 1933 — член группы Unit One. В период с 1933 по 1939 года Б.Николсон живёт в Лондоне, поддерживает творческие контакты с Питом Мондрианом и Наумом Габо. В 1939 году переезжает вместе с женой, скульптором Барбарой Хепуорт, в корнуоллский городок Сент-Айвс, где они создают Центр абстрактного искусства. В 1937 году художник вступает в группу Абстракция-Творчество (Abstraction-Cr?ation). С 1958 года Николсон живёт и работает на озере Лаго-Маджоре, в Швейцарии. В 1971 он возвращается в Англию, с 1972 года — в лондонском Хемпстеде, где у художника была расположена его мастерская.
Для творчества Б. Николсона характерны пейзажи, натюрморты и скульптурные рельефы. Художник находился под влиянием работ Пикассо и П.Мондриана, его произведения относятся к неопластическому направлению в современном искусстве.
Б.Николсон был трижды женат, все его жёны были художниками, скульпторами или художественными фотографами. Вторым браком был женат на Барбаре Хепуорт (в 1938—1951 годах), которая родила Николсону еще в 1934 году тройню.
Работы Б. Николсона были представлены на 19-м (в 1934-м году) и 27-м (в 1954-м году) биеннале в Венеции. Он был участником выставок современного искусства documenta 1 (1955), dokumenta II (1959) и dokumenta III (1964) в Касселе. В 1955 году лондонская галерея Тейт организует ретроспективу работ Б.Николсона.
В 1968 художник был награждён королевой Елизаветой II орденом Заслуг.