Барри Такуэлл родился в семье музыкантов в Мельбурне. В детстве, прежде чем начать заниматься на валторне, он учился играть на фортепиано, органе и скрипке. Он начал заниматься на валторне в возрасте 13 лет и сдел такие поразительные успехи, что уже через 2 года смог получить работу в Мельбурнском симфоническом оркестре. Через год он перешёл в Сиднейский симфонический оркестр, которым в то время руководил британский дирижер Юджин Гуссенс. А еще через 2 года он переехал в Великобританию, чтобы продолжить исполнительскую карьеру там.
В Британии Такуэлл работал в оркестре Халле в Манчестере, оркестре Шотландской национальной оперы в Глазго, Борнмутском симфоническом оркестре, пока в 1955 году не стал солистом Лондонского симфонического оркестра, где он провел 13 лет. В эти годы в оркестре несколько раз сменились главные дирижёры, в том числе Пьер Монтё и Андре Превин. В 1968 году он покинул Лондонский оркестр, чтобы начать карьеру солиста.
В течение слудующих 30 лет Барри Такуэлл полностью посвятил себя сольной карьере. Он стал единственным исполнителем на валторне, который в течение столь долгого времени выступал исключительно сольно, не совмещая это с работой в оркестре или педагогической деятельностью. За эти годы он дал более тысячи сольных концертов по всему миру, сделал более 50 записей. Он трижды номинировался на премию Грэмми.
В 1982 году Такуэлл основал в Америке Мэрилендский симфонический оркестр и руководил им в качестве главного дирижера до 1998 г. В течение нескольких лет он также был главным дирижером Симфонического оркестра Тасмании. Кроме того, он неоднократно выступал в качестве дирижера с ведущими мировыми оркестрами. Под его руководством Лондонским симфоническом оркестром был записаны 3 компакт-диска с музыкой Дворжака, Элгара и Вагнера.
В 1970 году Такуэлл стал первым президентом Международного общества валторнистов.