Родился 2 августа 1950 года в Чимкенте, с трех лет жил в Москве (в некоторых источниках — родился в Москве). Казах. Отец был учителем английского языка, мать библиотекарем. Закончил химический факультет МГУ.
Дебютировал как поэт в коллективном сборнике «Ленинские горы: Стихи поэтов МГУ» (М., 1977). В юности публиковался в периодической печати («Комсомольская правда», «Юность», «Московский комсомолец», «Простор»), однако первая книга его стихов пролежала в архивах Союза писателей Казахстана 20 лет и была издана только в 1996 г. издательством «Жибек Жолы».
В начале семидесятых Кенжеев становится одним из учредителей поэтической группы «Московское время» (вместе с Алексеем Цветковым, Александром Сопровским, Сергеем Гандлевским). Публикуется с 1972 года.
С 1982 г. поэт живет в Канаде.
В декабре 1986 в период Желтоксана читал стихи Б. Канапьянова на «Радио Свобода» .
Член Русского ПЕН-клуба. Входил в жюри премии «Дебют» (2000).
Публиковался в переводах на казахский, английский, французский, немецкий и шведский языки.