Родился в ноябре 1917 года в селе Мочалейка ныне Каменского района Пензенской области в семье крестьянина. Татарин. Член ВКП(б) с 1943 года. В родном селе окончил 4 класса. Работал в колхозе – вначале подпаском, а потом и в поле.
С 1934 года жил в городе Харькове. В 1937 году окончил 7 классов школы рабочей молодёжи. Работал электромонтажником объединения «Харэнерго». Трудился с огоньком, несколько раз был премирован за ударный труд.
В Красной Армии с 1938 года. Служил в городе Ворошиловске на Дальнем Востоке.
Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Сражался на Брянском и Воронежском фронтах. В конце 1942 года был ранен. Несколько месяцев лежал в госпитале, а затем снова вернулся на Воронежский фронт.
Командир пулемётного отделения 21-го стрелкового полка (180-я стрелковая дивизия, 38-я армия, Воронежский фронт) кандидат в члены ВКП(б) старший сержант Азис Акжигитов в октябре 1943 года одним из первых переправился через Днепр в районе села Лютеж (Вышгородский район Киевской области). Отражая непрерывные атаки, его отделение уничтожило до роты пехоты противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 октября 1943 года за мужество и отвагу, проявленные во время форсирования Днепра и удержании плацдарма на правом берегу реки, старшему сержанту Азису Харьясовичу Акжигитову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».