В двенадцатилетнем возрасте Айвёр выступала в составе фарерского хора в Италии. В 13 лет она впервые появилась на фарерском телевидении и в том же году стала победительницей национального песенного конкурса. В 1999 году стала участницей рок-группы Clickhaze.
Год спустя вышел её первый альбом — Eiv?r P?lsd?ttir. Он представлял из себя собрание классических фарерских баллад, исполненных под аккомпанемент гитары с джазовыми вкраплениями. В 2001 году вместе со своей группой Clickhaze Айвёр стала победителем фарерского конкурса музыкальных групп Prix F?royar. Летом 2002 года вместе с Clickhaze был выпущен рок-альбом, вслед за чем последовал успешный тур на Фарерах, в Швеции, Дании, Исландии и Гренландии.
В 2003 году певица выпустила свой второй сольный альбом — Kr?kan. В тот же год она была номинирована на премию Icelandic Music Awards и победила в двух номинациях — лучшая певица и лучший исполнитель. Альбом 2004 года (Eiv?r), записанный совместно с канадцем Биллом Борном, стал одним из наиболее продаваемых альбомов фарерских музыкантов в США и Канаде. В этом же году певица стала обладательницей титула фаререц года. Последний на сегодняшний день альбом певицы вышел в 2007 году и был записан как в английской версии (Human Child), так и в фарерском варианте (Mannabarn). В 2010 году вышел еще один последний на сегодняшний день альбом — Larva.