Начал играть в футбол в родном городе, тогда ещё — уличный. В 1996 год семья Дарабаевых переехала в Караганду, где Аслан продолжил свое «дворовое» футбольное образование, в 13 лет пришёл тренироваться в майкудукский клуб «Сатурн» к Руслану Каржаубаеву.
В 2008 году подписал профессиональный контракт с ФК «Шахтёр». В сезоне 2008 был заявлен за дубль, сыграл 17 матчей в чемпионате и 2 в Кубке. Отличиться у Аслана не получилось. На Кубок УЕФА 2008—2009 в заявку не попал.
В 2009 году стал бронзовым призёром. В чемпионате сыграл 26 игр, забил 3 гола. В Кубке 6 игр и 1 решающий гол в гостевой встрече в ворота ФК «Экибастуз».
В 2010 году подписал долгосрочный контракт с ФК «Актобе». Стал серебряным призёром 2010 года.
В 2009 году приглашён в молодёжную сборную Казахстана. Отыграл 3 матча, причём на гостевой матч против Черногории 14 октября вывел сборную в качестве её капитана.
В 2010 году получил приглашение в национальную сборную Казахстана от тогдашнего немецкого специалиста Берндта Шторка.