Артур Григорян родился в 1967 году в Ташкенте в семье выходцев из Нагорного Карабаха. В 1978 году начал заниматься боксом под руководством Льва Ахмеджанова. В 1990 году стал победителем Игр доброй воли в Сиэтле, а в 1991 году дошёл до финала и завоевал серебряную медаль чемпионата мира в Сиднее. В составе Объединённой команды был участником Олимпийских игр в Барселоне.
На чемпионате мира 1991 года Артур Григорян провёл пять поединков:
Артур Григорян дебютировал на профессиональном ринге 10 апреля 1994 года. Уже через два года он получил право оспорить вакантный титул чемпиона мира по версии WBO в лёгком весе. Нокаутировав в 12 раунде противостоявшего ему в этом титульном бою известного пуэрториканского боксёра Антонио Риверу, Артур Григорян завоеван чемпионский пояс. В дальнейшем он 17 раз успешно защищал чемпионский титул, побеждая таких сильных претендентов как будущий и бывший чемпионы мира по версии WBA Рауль Бальби и Стефано Дзофф, а также своего соперника по финалу любительского чемпионата мира в Сиднее Марко Рудольфа. Сам Артур Григорян называет своим лучшим боем победу техническим решением в 10 раунде над Гиоргио Кампанеллой. В январе 2004 года Артур Григорян проиграл по очкам бразильскому боксёру Аселино Фрейтасу и утратил чемпионский титул. В сентябре того же года он провёл ещё один бой, после чего принял решение завершить карьеру.
В дальнейшем Артур Григорян перешёл на тренерскую работу в клуб Universum Box Promotion, в котором тренирует группу молодых боксёров и помогает готовиться к боям сильнейшим представителям клуба, в том числе чемпиону мира в тяжёлом весе Руслану Чагаеву. В феврале 2009 года Артур Григорян принял участие в шоу, посвященном 25-летию промоутерской компании Universum.