Родился в семье футбольных игроков. Артур Едигарян старший брат Артака Едигаряна, сын Гегама Едигаряна и внук Феликса Вераняна. Футболом начал заниматься с 6 лет. Немалую роль в дальнейшем определении внесло месторасположение дома, который расположен рядом с Республиканским стадионом. В детстве, а затем и в юности Едигарян часто посещал матчи чемпионата. Первым тренером Едигаряна был Овик Казанчян. Является воспитанником футбольной школы «Пюник». В составе «Пюника» становился многократным чемпионом, обладателем Кубков и Суперкубков Армении. До окончания чемпионата 2009 перешёл в хамаданский клуб ПАС выступавщий в Высшей лиги Ирана.
По окончании контракта с ПАСом Едигарян, опять же на правах аренды, перешёл в «Бананц», став первым новичком клуба впредверии участия клуба в еврокубках. Плодотворно отыграв полугодичный контракт, Едигарян вернулся в «Пюник». В декабре болгарские СМИ распространили информацию о том, что болгарский клуб «Черноморец» (Бургас) заинтересован в услугах. Однако тренерский штаб не прокомментировал данную информацию, которую затем все забыли.
В начале 2012 года о своей заинтересованности высказались подмосковные Химки. Позже Едигарян присоединился к команде на учебно-тренировочном сборе. Из-за финансовых разногласий между клубами, трансфер футболиста долго не подтверждался. 24 февраля Едигарян подписал контракт с Химками. Подробности трансфера стороны не разгласили.
В отборочном турнире к ЧМ-2010 сыграл 6 матчей.