Арменак Алачачян родился в семье армянских беженцев, спасшихся и нашедших приют в Египте во время геноцида армян в Турции. Начал заниматься баскетболом в Александрии. В 1947 году его семья репатриировалась в Армению, и он продолжил играть в баскетбол сначала в ереванском «СКИФе», а потом в алма-атинском «Буревестнике», где раскрылся, как талантливый разыгрывающий, особенно в связке со знаменитым тогда «столбом» Увайсом Ахтаевым («дядя Вася-чечен», рост 232 см). В 1953 году Алачачян был приглашен в сборную СССР, в составе которой играл с некоторыми перерывами до 1965 года и выиграл в её составе 4 чемпионата Европы (1953, 1961, 1963, 1965), и серебряную медаль олимпийских игр в Токио (1964). В 1958 году он был приглашен в ЦСКА, став капитаном сильнейшего баскетбольного клуба СССР. В составе ЦСКА он шесть раз становился чемпионом СССР (1960—1962, 1964—1966), двукратным победителем Кубка Европейских Чемпионов (1961, 1963).
После окончания карьеры игрока в 1966 году Арменак Алачачян перешёл на тренерскую работу. В 1969 году он стал главным тренером ЦСКА и в этом сезоне под его руководством клуб стал чемпионом СССР и выиграл Кубок Европейских Чемпионов. Тем не менее после относительно неудачного старта следующего сезона он был смещен с поста главного тренера ЦСКА.
После этого Алачачян принял решение покинуть СССР и эмигрировать в Канаду. С 1971 года живёт в Торонто, где занимается предпринимательской деятельностью, основав сеть ювелирных магазинов.