Родился в Санкт-Петербурге в семье генерал-лейтенанта флота (1892) Константина Васильевича Небольсина (1825—1895).
Образование получил в Морском корпусе (1885), минном офицерском классе (1901), на гидрографическом отделении Николаевской морской академии (1892). В 1901 года окончил курс военно-морских наук при Николаевской морской академии. В 1886—1889 совершил кругосветное плавание на корвете «Витязь». В 1888 участвовал в гидрографических работах в заливе Петра Великого. 1 января 1892 года был произведен в чин лейтенанта. С 1897 года служил на Чёрном море. 18 ноября 1898 года зачислен в штурманские офицеры 1 разряда. В 1903—1904 старший офицер эскадренного броненосца «Ростислав», в 1904—1905 старший офицер крейсера 1-го ранга «Аврора». 28 марта 1904 года произведен в чин капитана 2-го ранга.
Участник русско-японской войны 1904—1905 годов и Цусимского сражения, во время которого был ранен в голову, плечо и правое колено. Принял на себя командование крейсером 1 ранга «Аврора» в Цусимском сражении и успешно вывел корабль в порт Манила, тем самым спас его. В 1905—1909 гг. — военно-морской Атташе Российской Империи в США, участвовал в переговорах, предшествовавших заключению Портсмутского мира. В 1909—1911 командир канонерской лодки «Кореец», в 1911—1914 годах — линейного корабля «Император Павел I». 18 октября 1910 года был произведен в чин капитана 1-го ранга.
Вскоре после начала Первой мировой войны 20.10.1914 назначен командующим под брейд-вымпелом 1-й бригады линейных кораблей Балтийского моря. С 4.5.1915 начальник 2-й бригады линейных кораблей Балтийского моря.
Был тяжело ранен во время матросских волнений на базе ВМФ Российской империи Свеаборг около Гельсингфорса 2 (16) Марта 1917 г. в канун отречения императора Николая II от власти. 3 (17) марта 1917 умер от ран в госпитале в Гельсингфорсе.
Награждён Орденами: Св. Анны 2-й степени с мечами, Св. Станислава 2-й степени, Св. Владимира 4-й степени, Св. Владимира 3-й степени, Св. Станислава 1-й степени с мечами. Награждён медалями: серебряной медалъю в честъ коронования Николая II и медалъю за спасение утопающих. Был также Кавалером Ордена Почетного Легиона (Франция).
В честь Небольсина назван мыс в заливе Посьета.
Известный журналист Павел Хлебников - это потомок Аркадия Небольсина, праправнук, если быть точным.