Аркадий Алексеевич Альфонский родился 8 февраля 1796 года в городе Вологде, в семье врача. Отец умер, когда мальчику ещё не исполнилось четырёх лет.
Получил среднее образование в городе Москве, в лютеранском церковном училище.
В 1810 году, в четырнадцатилетнем возрасте, Альфонский поступил на медицинский факультет Московского университета (ныне Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова), где окончил курс докторантом в 1817 году.
В том же году защитил диссертацию на степень доктора медицины и оставлен при Московском университете по кафедре хирургии.
В 1823 году был уже экстраординарным, а в 1829 году ординарным профессором; несколько лет был деканом и проректором медицинского факультета, а с 1842—1848 год — ректором университета. Вышел в отставку со званием заслуженного профессора и почётного члена университета. После того, как выборное ректорство было отменено, А. А. Альфонский вновь был назначен ректором и состоял в этой должности с 1850 по 1863 год.
С 1830 по 1850 год занимал должность главного врача московского Воспитательного дома. Утвержден в потомственном дворянстве определением временного присутствия Герольдии 30 октября 1847 года, с внесением в третью часть дворянской родословной книги. Герб Альфонского внесен в Часть 14 Общего гербовника дворянских родов Всероссийской империи, стр. 49.
Согласно «Энциклопедическому словарю Брокгауза и Ефрона»: «А. А. Альфонский не был теоретиком и почти ничего не писал, но приобрел громкую известность своими удачными операциями, в особенности искусными литотомиями».
Аркадий Алексеевич Альфонский скончался 4 января 1869 года.