Родился в деревне Дубровка, ныне Полоцкого района Витебской области Белоруссии в крестьянской семье. Образование начальное.
С 1917 года — служил в царской армии. Сражался на Румынском фронте в период Первой мировой войны.
В РККА с июня 1918 года. В годы Гражданской войны А. А. Борейко проходил службу красноармейцем в запасном батальоне города Витебск. В марте 1919 года был направлен на учёбу на 1-е Витебские пехотные командные курсы. По их окончании с июня того же года командовал взводом курсантов на Витебских, затем на Смоленских курсах. С августа А. А. Борейко командир роты 1-го отдельного стрелкового батальона Южного фронта. В этих должностях участвовал в боях на Южном фронте против войск генерала А. И. Деникина. С февраля 1920 года проходил службу в 15-м запасном стрелковом полку Западного фронта в городе Дорогобуж, помощник командира роты, командир взвода, помощник заведующего оружием полка.
После войны 15-й запасной стрелковый полк был переименован в 163-й стрелковый полк в составе 53-й отдельной запасной стрелковой бригады, где А. А. Борейко служил командиром роты. С октября 1921 года — слушатель Высшей тактико-стрелковой школы комсостава РККА им. III Коминтерна, по окончании с ноября 1922 года командир взвода 31-х Смоленских командных курсов, с августа 1923 года — начальник пулемётной команды этих курсов. С мая 1924 года командир роты, затем командир батальона 15-го стрелкового полка Белорусского военного округа С марта 1931 года в том же округе А. А. Борейко исполнял должность помощника командира 10-го стрелкового полка по хозяйственной части, с ноября — начальник военно-хозяйственного снабжения 4-й стрелковой дивизии. С марта 1936 года командир 150-го стрелкового полка 50-й стрелковой дивизии Белорусского военного округа в городе Полоцк, в этой должности участвовал в освобождении Западной Белоруссии в 1939 году, в Советско-финской войне в 1940 году. С сентября 1940 года — заместитель командира 50-й стрелковой дивизии Западного особого военного округа.
С началом Великой Отечественной войны в той же должности. С августа 1941 года командир 50-й стрелковой дивизии. Участвовал в приграничном сражении на Западном фронте, затем в Смоленском сражении. 12 октября 1941 года А. А. Борейко было присвоено очередное звание генерал-майор. С июня 1942 года А. А. Борейко — командир 324-й а с августа — 11-й гвардейской стрелковых дивизий. В ноябре он был назначен командиром 9-го гвардейского стрелкового корпуса. В июле 1943 года корпус в составе 61-й армии участвовал в Орловской операции. А. А. Борейко умело организовал прорыв обороны противника и отражение контрудара, успешно командовал частями корпуса при форсировании рек Десна и Снов, овладении городом Чернигов. В ходе битвы за Днепр А. А. Борейко 27 — 28 сентября умело управлял корпусом при форсировании реки в районе посёлка городского типа Любеч, населенных пунктов Мысы и Неданчичи, при захвате и удержании плацдарма на правом берегу реки Днепр. Несмотря на неоднократные атаки превосходящих сил противника, удержал захваченный рубеж, лично проявив мужество и стойкость, за что ему было присвоено звание Героя Советского Союза. С февраля 1944 года А. А. Борейко находился на излечении в военно-клиническом санатории «Архангельское». В апреле был откомандирован на учёбу в Высшую военную академию им. К. Е. Ворошилова, после окончания которой 7 апреля1945 года принял командование 16-м гвардейским стрелковым корпусом, который в составе 11-й гвардейской армии 3-го Белорусского фронта участвовал на заключительном этапе в Восточно-Прусской операции.
После войны с марта 1946 года был заместителем командующего 11-й гвардейской армией в Прибалтийском военном округе. С мая 1949 года комендант города Вена в Центральной группе войск. С августа 1953 года в запасе.
Жил и работал в Москве. Скончался 12 декабря 1955 года. Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.