В возрате 17-ти лет начал выступать в профессиональном футболе. Первым клубом Азизяна стал дубль абовянского «Котайка», впоследствии ставший отдельной структурой и переехавший в Ереван. Проведя сезон в «Котайк-2», Азизян перешёл в ереванский «Арарат». В «Арарате» Азизян задержался на 7 сезонов, после чего отправился в иранский «Барг Шираз». Спустя 3 сезона вернулся в Армению, где заключил контракт со скромным клубом Премьер-лиги — «Киликией». В следующем сезоне в составе «Киликии» дошёл до финала Кубка Армении, где команда уступила со счётом 0:2 аштаракской «Мики». Аштаракский клуб впоследствии заключил контракт с Азизяном. Но данное сотрудничество не стало плодотворным для Азизяна. Однако пребывание в «Мике» принесли Азизяну звания обладателя Кубка и Суперкубка Армении по футболу в 2006 году. В 2007 году проведя 7 игр за «Мику» перешёл в «Улисс». За полсезона 2007 года Азизян провёл больше игр, чем в каждом из последующих двух полноценных сезонов. Став бронзовым призёром Армении в составе «Улисса», Азизян покинул клуб по окончании чемпионата.
В начале 2010 года подписал контракт с новичком Премьер-лиги «Импульсом». В начале сезона основным конкурентом был Григор Меликсетян, но не выдержав конкуренции Меликсетян перешёл в капанский «Гандзасар». Азизян стал основным голкиперов команды. Однако в летнее трансферное окно клуб приобрёл Геворга Празяна, который выступает в составе молодёжной сборной. Таким образом, клуб решает повысит уровень линии защиты. В сентябре, проведя 138 матч в Высшей лиги за всю её историю существования, Азизян вошёл в 10-ку самых опытных вратарей Армении. Новый сезон Азизян начал бодро, выходя в каждом матче. Лишь в 3-ем и 4-ом турах пришлось уступить место Геворгу Празяну. Последующие 6 матчей остались за Азизяном. Правда последний ознаменовался отрицательной ситуацией связанной с футболистом. В матче 10 тура против ереванского «Арарата» Азизян схлопотал красную карточку на 96 минуте. Последующий матч Азизян автоматически пропускал. Место в воротах было доверено молодому вратарю — Гору Элазяну. Элазян с этого матча стал основным вратарём команды.
18 августа Азизян подписал контракт с «Абумослемом» из Мешхеда. Срок соглашение рассчитан на один год.