Ануар Абуталипов родился 7 декабря 1923 года в ауле Бешарык ныне Яны-Курганского района Кызылординской области Казахстана.
Окончив начальную школу в ауле Манап Кызылординской области Казахской ССР, Ануар Абуталипов работал в колхозе.
Ануара Абуталипова призвали в ряды РККА в сентябре 1942 года. На фронт попал в 1943 году.
24 октября 1944 года командир пулемётного расчёта гвардейского воздушно-десантного полка 1-й гвардейской воздушно-десантной дивизии 53-й армии 2-го Украинского фронта гвардии красноармеец Ануар Абуталипов с двумя бойцами смог переправиться под ураганным огнём гитлеровцев через реку Тиса в районе венгерской деревни Тисадорогма. Разведав оборону противника, Ануар Абуталипов стал перевозить бойцов и боеприпасы, сделав за полтора дня 47 рейсов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии красноармейцу Абуталипову Ануару присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В августе 1945 года Ануар Абуталипов, возвратившись в родной колхоз, работал звеньевым. Вступил в КПСС в 1949 году.
Ануар Абуталипов умер в 2002 году. Он был последним Героем Советского Союза из оставшихся в живых кызылординцев.