Сын железнодорожного рабочего. В 1902—1923 годах работал слесарем. В марте 1918 года вместе со своими коллегами основал «Свободный рабочий комитет за добрый мир» (нем. Freier Arbeiterausschu? f?r einen guten Frieden), а позднее в том же году — консервативный «Политический рабочий кружок» (нем. Politischer Arbeitszirkel).
5 января 1919 года вместе с Карлом Харрером в пивной Штернекерброй основал Немецкую рабочую партию (нем. Deutsche Arbeiterpartei), которая 24 февраля 1920 года была переименована в Национал-социалистическую немецкую рабочую партию. В январе 1919 года Дрекслер опубликовал статью «Крушение пролетарских Интернационалов и крах идеи всеобщего братства». В том же году появился памфлет «Моё политическое пробуждение. Из дневника немецкого рабочего-социалиста», на который обратил внимание молодой Гитлер.
Вскоре после того, как по поручению своего руководства Гитлер появился на собрании партии Дрекслера, он стал её активным участником и в 1921 году стал её новым председателем. Дрекслер, терявший влияние, пытался за его спиной вести переговоры об объединении с другими правыми партиями. 25 июля 1921 года Дрекслер обратился в полицию с заявлением о провокационной деятельности Гитлера. 29 июля 1921 года Гитлер был избран председателем и получил диктаторские полномочия. Дрекслер был назначен «почётным председателем» и сохранял этот пост до 1923 года. В Пивном путче 1923 года Дрекслер не участвовал. С 1923 года, после запрета партии, Дрекслер входил в «Народный блок», в 1924—1928 годах избирался в депутаты баварского ландтага. После возобновления деятельности партии в 1925 году он не принимал участия в её деятельности, а после прихода нацистов к власти в 1933 году снова вступил в партию. В 1934 году был награждён «Орденом крови» (памятной медалью в честь путча 1923 года), однако больше не играл в политике никакой роли.
Гитлер описал его в «Майн Кампф» как человека, который «не был солдатом», который «не прошёл достаточной школы жизни», и потому остался человеком слабым и сомневающимся.