Родился и вырос в Набережных Челнах. Его отец также был футболистом, с 1977 по 1980 год играл в клубе «Турбина» (Набережные Челны) во второй союзной лиге. Когда Антону исполнилось семь лет отец отдал его в детско-юношескую спортивную школу «КамАЗа». Первым тренером Антона был Михаил Иванович Шабанов.
В 1994 году Антон Бобер вместе со своей командой выиграл серебряные медали Детской футбольной лиги. Финальный турнир проходил с 4 по 14 августа 1994 года в Самаре. Победителем соревнований стал местный клуб «Самарец», в котором играли будущие партнеры Бобра по «Крыльям» — Анюков, Шабаев, Козлов, Чернов.
В 1995 году «КамАЗ» занял в первенстве ДФЛ только пятое место, зато смог выиграть суперкубок ДФЛ. Антон стал мастером ДФЛ, а его тренер Михаил Шабанов — «Заслуженным тренером Детской футбольной лиги».
В последнем туре чемпионата России 1998 года в первом дивизионе состоялся дебют Антона во взрослой команде «КамАЗа». В следующем сезоне «КамАЗ» выступал во втором дивизионе, Бобер сыграл за «КамАЗ» 19 игр и на финише чемпионата забил три гола. 13 сентября 1999 года он забил вратарю ФК «Металлург-Метизник» (Магнитогорск), а 16 октября сделал дубль во встрече с «Динамо» из Ижевска. В межсезонье 1999—2000 Антон Бобер получил приглашение в «Крылья Советов».
1 апреля 2000 года он впервые сыграл за основной состав «Крыльев» во 2-м туре чемпионата России. В своём дебютном сезоне в высшем дивизионе чемпионата России Бобер сыграл за самарский клуб в 7 матчах, в одном из матчей («Крылья Советов» — «Зенит») он вышел на поле в стартовом составе.
31 июля 2005 года в гостевом матче против «Томи» Бобер провел свой юбилейный — сотый матч за «Крылья Советов» в высшем дивизионе чемпионатов России.
После сезона 2006 года у Антона закончился контракт с самарским клубом, а первоначальные переговоры о продлении не привели к результату, и в январе 2007 Бобер отправился на просмотр в ФК «Москва». Однако его не устроили предложенные москвичами условия, в частности перспектива выступления в команде на позиции защитника, и он вернулся в «Крылья», еще на два года продлив контракт.
Антон Бобер является старожилом «Крыльев» с самым большим сроком нахождения в клубе. Денис Ковба также играл в команде с 2000 года, но в середине сезона-2009 перешёл в пражскую «Спарту»
Еще в марте 2000 года Бобер обратил на себя внимание старшего тренера юношеской сборной России (1982 года рождения) А.Гребнева. В апреле 2000 года Антон провёл свой первый матч за юношескую сборную, которая обыграла сверстников из Кипра — 3:0.
22 мая 2001 Бобер был вызван в молодежную сборную России на матч Россия — Югославия, а 3 октября он сыграл один тайм за молодёжную сборную России в товарищеском матче.
В 2003 году Бобер провел за молодежную сборную России 6 матчей:
Жена Алина. 7 января 2006 у них родился сын Иван.