Родился в Москве, в семье каменщика Константина. Рано осиротел и был усыновлён подмастерьем каменных дел Лаврентием Семёновичем Возоулиным.
Весной 1628 года Антип Константинов вместе с отчимом прибыл в Нижний Новгород для строительства храма-памятника Нижегородскому ополчению Минина и Пожарского. В 1631 году Михайло-Архангельский собор был построен, а Антип правительственным указом отправлен в Вязьму для возведения каменных башен крепости. В 1634 году Антип Константинов вернулся в Москву и вместе с Трефилом Шарутиным возвел трёхшатровую Преображенскую церковь в Алексеевском монастыре. В 1635—1636 гг. вместе с зодчим Баженкой Огурцовым, Трефилом Шарутиным и Ларионом Ушаковым строит в Московском Кремле Теремной дворец, церковь Спаса на Сенях, надстраивает Троицкую (Куретную) башню. В 1641 году Антипа направили во Владимир для восстановления Золотых ворот. По своей смете он возводит над ними трёхшатровую церковь Ризположения. В 1642—1643 гг. вместе с Ларионом Ушаковым А. Константинов реставрирует Успенский собор Московского Кремля. За эту работу Антип был награждён 10 аршинами камки, 5 аршинами тафты и 4 аршинами английского сукна.
В 1643 г. Антип ремонтирует палаты царского врача Винделина Сибелиста, приступает к строительству Кремлевский патриарших каменных палат. В 1644 г. начинает строить церковь Троицы в Подмосковной усадьбе Голенищево (завершена в 1649 г. Л. Ушаковым), возводит каменные литейные хоромины государственного Пушечного двора. Затем в связи с болезнью уезжает в Нижний Новгород.
В 1645—1650 гг. Антип работает в Нижнем Новгороде. В 1645 г. он возводит в Печерском монастыре надвратную церковь Евфимия Суздальского, 1648 г. — трапезную палату с Успенской церковью при ней, покои архимандрита.
В 1650 году Антип Константинов умирает. Род зодчего был внесён в синодик нижегородского кремлевского Спасо-Преображенского собора.